DARC-Online-Lehrgang Technik Klasse A Kapitel 4: Schwingkreis und Filter

Kapitel 4: Schwingkreis und Filter

In diesem Kapitel werden Prüfungsaufgaben aus dem Sachgebiet Schwingkreis und Filter vorgestellt und ausführlich besprochen. Die Theorie dazu müsste teilweise aus dem Lehrgang für Klasse E bekannt sein.

Der Schwingkreis

Sehr ausführlich werden im Kapitel E07 im Amateurfunklehrgang zur Klasse E der Schwingungsvorgang und die Entstehung der sinusförmigen gedämpften und ungedämpften Schwingung erläutert. Beachten Sie bei den Prüfungsaufgaben: Ein Reihenschwingkreis wird auch Serienschwingkreis genannt. Hier werden deshalb beide Begriffe gemischt verwendet.

Zeichnung: E..Moltrecht — Bild 4-1: (a) Reihenschwingkreis oder Serienschwingkreis, (b) Parallelschwingkreis

Die Resonanzfrequenz

Der Begriff Resonanzfrequenz wurde ebenfalls erklärt. Es lief darauf hinaus, dass die Energiependelung bei der Parallelschaltung von Spule und Kondensator am besten bei der Frequenz funktioniert, bei der der induktive Widerstand gleich dem kapazitiven Widerstand ist. Auf eine Ableitung der Formel für die Berechnung der Resonanzfrequenz wurde dort beim Amateurfunklehrgang für die Klasse E verzichtet, was hier nachgeholt werden soll.

Prüfungsfrage

TD203 Was ist im Resonanzfall bei der Reihenschaltung einer Induktivität mit einer Kapazität erfüllt?
	Der Betrag des induktiven Widerstands ist dann gleich dem Betrag des kapazitiven Widerstands.
	Der Wert des Verlustwiderstands der Spule ist dann gleich dem Wert des Verlustwiderstands des Kondensators.
	Die Größe des elektrischen Feldes in der Spule ist dann gleich der Größe des elektrischen Feldes im Kondensators.
	Die Größe des magnetischen Feldes in der Spule ist dann gleich der Größe des magnetischen Feldes im Kondensator.

Aus der Beziehung

\[ \boxed { X_L = X_C } \]

lässt sich die Frequenz berechnen, die diese Bedingung erfüllt. Setzt man für

\[ X_C = \frac{1}{\omega \cdot C} \text{ und } X_L = \omega \cdot L \]

ein und löst man die Gleichung nach ω auf, ergibt sich folgender Rechengang.

\[ \begin{align} X_L& = X_C \quad \quad | \ \text{einsetzen} \\ \\ \omega \cdot L &= \frac{1}{\omega \cdot C} \quad |\cdot\frac{\omega}{L} \\ \\ \omega^2 &= \frac{1}{L \cdot C} \quad |\sqrt{\cdots} \\ \\ \omega &= \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \end{align} \]

Nun wird für die Kreisfrequenz ω = 2 π f eingesetzt, dann durch 2π geteilt und man erhält die Frequenz, bei der die Bedingung X_L = X_C erfüllt ist. Diese Frequenz nennt man die Resonanzfrequenz f₀.

\[ \boxed{ f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} } \]

Diese Formel – nach dem ohmschen Gesetz die zweitwichtigste Formel für den Funkamateur – wird als „Thomsonsche Schwingkreisformel“ bezeichnet. Sie steht auch in der Formelsammlung der BNetzA (siehe Anhang). Dazu gibt es eine Reihe von Prüfungsaufgaben.

Prüfungsfrage

TD209 Welche Resonanzfrequenz hat die Parallelschaltung einer Spule von 2 µH mit einem Kondensator von 60 pF und einem Widerstand von 10 kΩ?
	145,288 kHz
	1,45288 MHz
	14,5288 MHz
	145,288 MHz

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Bei der Berechnung der Frequenz haben Widerstände keinerlei Wirkung. Warum man noch einen Widerstand angegeben hat, verstehe ich nicht. Vielleicht will man die Aufgabe damit schwieriger machen? Setzen Sie einfach die Kapazität und die Induktivität mit den Einheiten in die Thomsonsche Schwingkreisformel ein.
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{2 \cdot 10^{-6} \ \text{H} \cdot 60 \cdot 10^{-12} \ \text{F}}} \] für H setze ich immer Ωs ein und für F setze ich s/Ω ein. Dann kürzt sich Ohm heraus und es bleibt s² übrig. Daraus die Wurzel ergibt s und 1/s ist Hertz. Sie können aber auch die Grundeinheiten
\[ \text{H} = \frac{\text{Vs}}{\text{A}} \text{ und } \text{F} = \frac{\text{As}}{\text{V}} \] einsetzen. Dann kürzen sich V und A ebenfalls heraus. Ich kann mir Ohmsekunden für Henry einfach besser merken. Bei der Aufgabe kann man sich auf dem Taschenrechner sehr gut vertippen, die Umformung zu verlängern senkt das Risiko Fehler zu machen. \[ \begin{align} f_0 &= \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{2 \cdot 10^{-6} \ \Omega\text{s} \cdot 60 \cdot 10^{-12} \frac{\text{s}}{\Omega}}} &| & \ \text{kürze} \ \Omega \\ &= \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{2 \cdot 10^{-6} \ \text{s} \cdot 60 \cdot 10^{-12} \ \text{s}}} & | & \ \text{Multiplikation zusammenfassen} \\ &= \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{120 \cdot 10^{-18} \ \text{s}^2}} & | & \ \text{s}^2 \ \text{aus der} \ \surd \ \text{holen} \\ &= \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{120 \cdot 10^{-18}}} \cdot \frac{1}{\text{s}} & | & \ \frac{1}{s} \ \text{ ist Hz}\\ &= \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{120 \cdot 10^{-18}}} \cdot \text{Hz} \\ \end{align} \] Beginnen Sie beim Ausrechnen mit dem Wert in der Wurzel! Wenn Sie wollen, machen Sie mit und tippen Sie in den Taschenrechner ein: \[ \text{Eingabe} \ \ \boxed{1} \ \boxed{2} \ \boxed{0} \ \boxed{\times} \ \boxed{1} \ \boxed{0} \ \boxed{\text{EXP}} \ \boxed{\pm} \ \boxed{1} \ \boxed{8} \ \boxed{=} \ \boxed{\surd} \ \boxed{\times} \ \boxed{2} \ \boxed{\times} \ \boxed{\pi} \ \boxed{=} \ \boxed{\frac{1}{x}} \]
Hinweis: Zwischen der 2 und der Zehnerpotenz steht zwar ein Malzeichen in der Formel. Das dürfen Sie nicht mit eingeben beim Taschenrechner.

Das Ergebnis lautet 14528792.07. Vielleicht haben Sie direkt eine Anzeige mit Zehnerpotenz? Ich muss umrechnen, indem ich das Komma um 6 Stellen nach links verschiebe und erhalte
14,52879207 · 10⁶.

Die Thomsonsche Schwingkreisformel gilt auch für die Reihenschaltung von L und C, wie Sie bereits aus dem Lehrgang Klasse E wissen. Lösen Sie also mit dieser Formel nach dem gleichen Prinzip wie bei obiger Aufgabe folgende Prüfungsaufgaben aus dem Fragenkatalog.

Prüfungsfrage

TD207 Wie groß ist die Resonanzfrequenz dieser Schaltung, wenn C₁ = 0,1 nF, C₂ = 1,5 nF, C₃ = 220 pF und L = 1 mH beträgt?

	117,973 kHz
	11,797 kHz
	1,18 kHz
	1,17973 MHz

Prüfungsfrage

TD208 Welche Resonanzfrequenz f_res hat die Reihenschaltung einer Spule von 100 µH mit einem Kondensator von 0,01 µF und einem Widerstand von 100 Ω?
	1,59155 kHz
	15,9155 kHz
	159,155 kHz
	1591,55 kHz

Prüfungsfrage

TD210 Wie groß ist die Resonanzfrequenz dieser Schaltung, wenn C = 6,8 pF, R = 10 Ω und L = 1 µH beträgt?

	6,1033 MHz
	61,033 MHz
	610,33 MHz
	610,33 kHz

Prüfungsfrage

TD211 Wie groß ist die Resonanzfrequenz dieser Schaltung, wenn C = 1 nF, R = 0,1 kΩ und L = 10 µH beträgt?

	15,915 kHz
	159,155 kHz
	15,915 MHz
	1,592 MHz

Prüfungsfrage

TD612 Wie verhält sich die Frequenz eines Oszillators bei Temperaturanstieg, wenn die Kapazität des Schwingkreiskondensators mit dem Temperaturanstieg ebenfalls ansteigt?
	Die Frequenz verringert sich.
	Die Schwingungen reißen ab (Aussetzer).
	Die Frequenz erhöht sich.
	Die Frequenz bleibt stabil.

Prüfungsfrage

TD613 Wie verhält sich die Frequenz eines Oszillators bei Temperaturanstieg, wenn die Kapazität des Schwingkreiskondensators mit dem Temperaturanstieg geringer wird?
	Die Frequenz wird niedriger.
	Die Schwingungen reißen ab (Aussetzer).
	Die Frequenz wird erhöht.
	Die Frequenz bleibt stabil.

Prüfungsfrage

TD614 Im VFO eines Senders steigt die Induktivität der Spule mit der Temperatur. Der Kondensator bleibt sehr stabil. Welche Auswirkungen hat dies bei steigender Temperatur?
	Die VFO-Frequenz wandert nach unten.
	Die VFO-Frequenz wandert nach oben.
	Die VFO-Ausgangsspannung nimmt zu.
	Die VFO-Ausgangsspannung nimmt ab.

Zur Thomsonschen Schwingkreisformel gibt es auch noch zwei Fragen ohne Rechnung, nämlich wie sich die Frequenz verändert, wenn man die Induktivität oder die Kapazität erhöht oder erniedrigt. Schauen Sie sich die Formel an: Frequenz und L-C-Produkt sind umgekehrt quadratisch (wegen der Wurzel) proportional. Umgekehrt proportional bedeutet, dass die Frequenz kleiner (geringer) wird, wenn man L oder C erhöht. Quadratisch bedeutet, dass man zum Beispiel C vervierfachen müsste um die halbe Frequenz zu bekommen.

Prüfungsfrage

TD206 Wie ändert sich die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises, wenn 1. die Spule mehr Windungen erhält, 2. die Länge der Spule durch Zusammenschieben der Drahtwicklung verringert wird, 3. ein Kupferkern in das Innere der Spule gebracht wird?
	Die Resonanzfrequenz wird bei 1. und 2. kleiner und bei 3. größer.
	Die Resonanzfrequenz wird in allen drei Fällen kleiner.
	Die Resonanzfrequenz wird bei 1. kleiner und bei 2. und 3. größer.
	Die Resonanzfrequenz wird bei 1. und 2. größer und bei 3. kleiner.

Der Impedanzfrequenzgang

Im Lehrgang zur Klasse E Kapitel 7 haben Sie den Scheinwiderstand (Impedanz) eines Parallelschwingkreises aus einer vorgegebenen Messung zeichnen müssen. Für den Reihenschwingkreis (Serienschwingkreis) wurde das Ergebnis vorgegeben. Die Kurven sahen so ähnlich aus, wie in folgendem Bild.

Aus diesen Kurven kann man folgendes ablesen. Wenn man bei einem Parallelschwingkreis die Frequenz langsam erhöht, steigt zunächst der Scheinwiderstand bis zu einem Höchstwert an. Die Frequenz, bei der dieser Höchstwert erreicht wird, heißt Resonanzfrequenz. Der Scheinwiderstand in diesem Punkt heißt Resonanzwiderstand. Erhöht man die Frequenz weiter, nimmt der Scheinwiderstand ab.

Merken Sie sich bitte: Bei einem Parallelschwingkreis ist der Scheinwiderstand bei der Resonanzfrequenz am größten.
Der Verlauf beim Reihenschwingkreis ist entgegengesetzt.
Bei einem Reihenschwingkreis ist der Resonanzwiderstand klein. Er ist ungefähr so groß wie der Serienwiderstand der Spule.

Prüfungsfrage

TD201 Der Impedanzfrequenzgang in der Abbildung zeigt die Kennlinie

	eines Serienschwingkreises.
	eines Parallelschwingkreises.
	einer Induktivität.
	einer Kapazität.

Prüfungsfrage

TD202 Der im folgenden Bild dargestellte Impedanz-frequenzgang ist typisch für

	einen Serienschwingkreis.
	einen Kondensator.
	eine Spule.
	einen Parallelschwingkreis.

Prüfungsfrage

TD212 Bei Resonanz ist die Impedanz dieser Schaltung ...

	gleich dem reellen Widerstand R.
	unendlich hoch.
	gleich dem kapazitiven Widerstand X_C.
	gleich dem induktiven Widerstand X_L.

Die Bandbreite

Ein Hochfrequenzverstärker, der mit einem Schwingkreis als Arbeitswiderstand beschaltet ist, verstärkt nicht nur eine einzige Frequenz, sondern einen gewissen Frequenzbereich. Diesen bevorzugten Bereich, bei dem die Spannung oder der Scheinwiderstand jeweils auf 70,7 Prozent (-3 dB) des Maximalwertes abgefallen ist, nennt man Bandbreite B.

Prüfungsfrage

TD218 Wie ergibt sich die Bandbreite B eines Schwingkreises aus der Resonanzkurve?
	Die Bandbreite ergibt sich aus der Differenz der beiden Frequenzen, bei denen die Spannung auf den 0,7-fachen Wert gegenüber der maximalen Spannung bei der Resonanzfrequenz abgesunken ist.
	Die Bandbreite ergibt sich aus der Differenz der beiden Frequenzen, bei denen die Spannung auf den 0,5-fachen Wert gegenüber der maximalen Spannung bei der Resonanzfrequenz abgesunken ist.
	Die Bandbreite ergibt sich aus der Multiplikation der Resonanzfrequenz mit dem Faktor 0,5.
	Die Bandbreite ergibt sich aus der Multiplikation der Resonanzfrequenz mit dem Faktor 0,7.

Die Güte

Die Bandbreite eines Schwingkreises ist abhängig von der Güte Q des Schwingkreises. Die Güte wiederum ist im Wesentlichen vom Verlustwiderstand der Spule abhängig. Die Verluste des Kondensators sind bei niedrigen und mittleren Frequenzen meistens vernachlässigbar klein. Die Formel für die Güte der Spule finden Sie bereits im Kapitel 3 unter Spule. Sie steht in der Formelsammlung (Anhang) unter Schwingkreis. Wir werden die Formel gleich brauchen und zwar
beim Reihenschwingkreis

\[ Q = \frac{X_L}{R_s} \]

und beim Parallelschwingkreis

\[ Q=\frac{R_p}{X_L} \]

Wenn Güte Q und Resonanzfrequenz f_res eines Schwingkreises bekannt sind, lässt sich die Bandbreite mit folgender Formel berechnen.

\[ B = \frac{f_{res}}{Q} \]

Übungsaufgabe

ÜB04-1 Schwingkreise mit jeweils der Güte Q = 100 sollen bei folgenden Resonanzfrequenzen betrieben werden. Berechnen Sie die jeweilige Bandbreite und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen in der Tabelle. Ein Wert ist bereits eingetragen, die anderen sehen Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche.

f_res	3,5	7	14	21	28	MHz
b

Lösungshinweis (hier klicken zum Anzeigen):

Wenn Sie die Bandbreite bei den anderen angegebenen Frequenzen richtig errechnet haben, muss die Bandbreite bei zunehmender Frequenz proportional größer werden.

Wenn also bei einem Hochfrequenzverstärker eine geringe Bandbreite (hohe Trennschärfe) gewünscht wird, muss entweder die Güte des Schwingkreises hoch sein oder man wählt eine möglichst niedrige Frequenz, zum Beispiel bei der Wahl des Zwischenfrequenzverstärkers eines Empfängers.

Prüfungsfrage

TD215 Welchen Gütefaktor Q hat die Parallelschaltung einer Spule von 2 µH mit einem Kondensator von 60 pF und einem Widerstand von 1 kΩ?
	0,18
	5,5
	18,2
	54,8

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Bei dieser Aufgabe ist sicher die Güte bei der Resonanzfrequenz gemeint. Berechnen wir diese zuerst.
Es ist derselbe Wert wie bei TD210. \[ \begin{align} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \sqrt{2 \cdot 10^{-6} \Omega \cdot 60 \cdot 10^{-12} \frac{\text{s}}{\Omega}}} = 14{,}53 \ \text{MHz} \\ f_0 &= 14{,}53 \ \text{MHz} \\ \\ X_L &= \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot 14,53 \cdot 10^6 \frac{1}{\text{s}} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \Omega \text{s} \\ X_L &= 182{,}6 \ \Omega \end{align} \] Parallelschaltung ist das Stichwort für Q. \[ Q = \frac{R_P}{X_L} = \frac{1000 \ \Omega}{182{,}6 \ \Omega} = 5{,}48 \] Die Lösung B ist also die richtige.

Prüfungsfrage

TD214 Welchen Gütefaktor Q hat die Reihenschaltung einer Spule von 100 µH mit einem Kondensator von 0,01 µF und einem Widerstand von 10 Ω?
	10
	1
	0,1
	100

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Resonanzfrequenz berechnen: \[ f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \] Mit \(L = 100 \cdot 10^{-6} \ \text{H} \) und \( C = 0{,}01 \cdot 10^{-6} \ \text{F} \) erhält man \[ \begin{align} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{100 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}01 \cdot 10^{-6}} \ \text{s}} \\ \\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \sqrt{10^{-12}} \ \text{s}} = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot 10^6 \frac{1}{\text{s}} \end{align} \] Der Scheinwiderstand der Spule bei der Frequenz ist \[ \begin{align} X_L &= 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot L \\ &= 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot 10^6 \frac{1}{\text{s}} \cdot 100 \cdot 10^{-6} \ \text{H} \\ X_L &= 100 \ \Omega \end{align} \] Die Güte eines Reihenschwingkreises ist gegeben durch \[ Q = \frac{X_L}{R_S} \] damit erhält man \[ Q = \frac{100 \ \Omega}{10 \ \Omega} = 10 \]

Prüfungsfrage

TD216 Welche Bandbreite B hat die Reihenschaltung einer Spule von 100 µH mit einem Kondensator von 0,01 µF und einem Widerstand von 10 Ω?
	159 Hz
	1,59 kHz
	15,9 kHz
	159,1 kHz

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Gleichung der Schwingkreisgüte Q in der Formelsammlung auf Seite 133 des offiziellen Fragenkataloges: \[ Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_p}{X_L} = \frac{X_L}{R_s} \] oder ohne das verwirrende Q und den Bruch für den Parallelschwingkreis davor: \[ \frac{f_0}{B} = \frac{X_L}{R_s} \] Mit f₀ - der Resonanzfrequenz, B - der Bandbreite, R_s - dem Serien-Widerstand, X_l - dem Blindwiderstand der Induktivität (oder Spule)

Diese Gleichung lösen wir nach B auf und erhalten: \[ B = \frac{R_s \cdot f_0}{X_L} \] Wir setzen für \( X_L = \omega \cdot L \) und für \( \omega = 2 \cdot \pi \cdot f_o \) und erhalten: \[ B = \frac{R_s \cdot f_0}{2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot L} \] f₀ können wir kürzen und wir erhalten ein sehr interessantes Ergebnis \[ B = \frac{R_s}{2 \cdot \pi \cdot L} \] In dieser Formel ist keine Frequenz mehr enthalten und auch keine Kapazität. Die Bandbreite ergibt sich also allein aus dem Verlustwiderstand (Serienwiderstand) der Induktivität. Als Rechenergebnis erhalten wir die Lösung:
B = 15915,49431 Hz ≈ 15,9 kHz

Prüfungsfrage

TD217 Welche Bandbreite B hat die Parallelschaltung einer Spule von 2 µH mit einem Kondensator von 60 pF und einem Widerstand von 1 kΩ?
	26,5 MHz
	2,65 MHz
	795,8 kHz
	79,6 kHz

Lösungshinweis (hier klicken zum Anzeigen):

In der Prüfungsaufgabe TD215 weiter oberhalb wurde mit den gleichen Werten eine Güte von 5,48 ermittelt. Dort wurde auch die Resonanzfrequenz berechnet. Also teilen wir die Resonanzfrequenz durch die Güte und erhalten als Bandbreite 2,65 MHz.

Der Quarz als Schwingkreis

Ein ähnliches Verhalten wie ein LC-Schwingkreis aus Kondensator und Spule hat ein Schwingquarz.

Dieser besteht aus sehr reinem Siliziumdioxid und wird als dünnes Plättchen aus einem Quarzkristall herausgeschnitten. Sein Verhalten ist durch den umkehrbaren piezoelektrischen Effekt gekennzeichnet. Unter dem piezoelektrischen Effekt versteht man die Erscheinung, dass zwischen zwei Seiten eines Kristalls bei Druck- oder Zugbeanspruchung elektrische Spannung entsteht. Eine Anwendung dieser Erscheinung findet man bei Gasanzündern oder Feuerzeugen.

Beim Quarz ist dieser Effekt umkehrbar, das heißt bei Anlegen einer Spannung verbiegt sich das Quarzplättchen (Biegeschwinger) oder verändert seine Dicke (Dickenschwinger). Durch Verbiegen entsteht wieder eine Spannung, die ihrerseits wieder eine Verbiegung bewirkt und so weiter.

Durch die Laufzeit der Druckwelle ist dieser Effekt von der Dicke des Quarzplättchens abhängig. Je dünner das Plättchen ist, desto schneller schwingt der Quarz, desto höher ist also die Frequenz. Herstellbar sind Grundwellenquarze für Frequenzen von 50 kHz bis etwa 15 MHz.

Die Dämpfung dieser Schwingung ist gering, so dass praktisch ein Schwingkreis hoher Güte entsteht. Für einen Schwingquarz kann man in der Nähe seiner Resonanz folgende Ersatzschaltung angeben.

Aus der Ersatzschaltung geht hervor, dass der Schwingkreis zwei Resonanzstellen haben muss. C_S, L (und R) stellen einen Serienkreis dar. Dies nennt man die Serienresonanzfrequenz f_S. Ferner kann man sich die beiden Kondensatoren C_S und C_P innerhalb des Schwingkreises als in Reihe geschaltete Kondensatoren denken, die dann zur Spule mit dem Verlustwiderstand parallel liegen und eine etwas höhere Resonanzfrequenz ergeben, die Parallelresonanz f_P.

Für Interessierte: Es soll hier an einem Beispiel mathematisch nachgewiesen werden, dass die Serienresonanz- und die Parallelresonanzfrequenz dicht nebeneinander liegen. Dazu wurde das Ersatzbild des Quarzes für die beiden Fälle ein wenig umgezeichnet und vereinfacht (ohne R).

Im Bild 4-7 A ist das vereinfachte Ersatzbild eines Quarzes dargestellt. Typische Werte für die Serien- und die Parallelkapazität sowie die Induktivität sind angegeben. Verfolgt man den Weg auf der rechten Seite von x nach y erhält man den Serienschwingkreis nach Bild B. Mit diesen Werten ergibt sich eine Serienresonanzfrequenz (rechnen Sie nach!) von 5,035 MHz.

Geht man von der Spule aus, liegen die beiden Kondensatoren als Reihenschaltung parallel dazu (Bild 4-6a C). Die Reihenschaltung der C’s ergibt 0,099668 pF. Damit ergibt sich eine Parallelresonanzfrequenz von 5,041 MHz.

Zeichnet man den Impedanzverlauf des Quarzes auf, erhält man prinzipiell folgendes Bild.

Bei der Serienresonanzfrequenz hat der Quarz einen sehr geringen, bei der Parallelresonanz einen sehr hohen Widerstand. Prüfungsfragen dazu gibt es bei Oszillatoren (siehe Kapitel 7, Bild 7-10).

Dazu gehören die Prüfungsfragen TD604, TD605 und TD606, die in Kapitel 7 beantwortet werden.

Quarze werden für Generatoren (Oszillatoren) im Hochfrequenzbereich angewendet, die eine sehr konstante Frequenz haben sollen. Man erreicht Genauigkeiten von 10^-6 (1 ppm) bis 10^-8(0,01 ppm), das heißt Abweichungen von einem Millionstel bis sogar ein Hundertstel von einem Millionstel. Siehe Prüfungsaufgabe TA117.

Das Bandfilter

Koppelt man zwei oder mehr Parallelschwingkreise in bestimmter Weise, nennt man die entstehende Schaltung Bandfilter. Die Schaltung heißt deshalb Bandfilter, weil sie ein bestimmtes Frequenzband (Frequenzbereich) durchlässt und die anderen Frequenzen sperrt.

Je nachdem, wie fest man die Schwingkreise miteinander koppelt, entstehen unterschiedliche Bandbreiten des Bandfilters.

Bei fester Kopplung (überkritische Kopplung) entsteht eine Einsattelung der Resonanzkurve (Bild 4-10 c). Bei der kritischen Kopplung hat die Kurve ein waagerechtes Dach (flat top) und bei unterkritischer Kopplung oder loser Kopplung erhält man die Resonanzkurve wie bei einem Einzelkreis (Bild 4-10 a) und die übertragene Spannung wird geringer.

Prüfungsfrage

TD228 Welche Kopplung eines Bandfilters wird "kritische Kopplung" genannt?
	Die Kopplung, bei der die Resonanzkurve des Bandfilters eine Welligkeit von 3 dB (Höcker- zu Sattelspannung) zeigt.
	Die Kopplung, bei der die Resonanzkurve des Bandfilters ihre größtmögliche Breite hat.
	Die Kopplung, bei der die Resonanzkurve ihre größte Breite hat und dabei am Resonanzmaximum noch völlig eben ist.
	Die Kopplung, bei der die Ausgangspannung des Bandfilters das 0,707-fache der Eingangsspannung erreicht.

Prüfungsfrage

TD224 Welche der nachfolgenden Beschreibungen trifft auf diese Schaltung zu und wie nennt man sie?

	Es handelt sich um eine Bandsperre. Frequenzen oberhalb der oberen Grenzfrequenz und Frequenzen unterhalb der unteren Grenzfrequenz werden durchgelassen. Sie bedämpft nur einen bestimmten Frequenzbereich.
	Es handelt sich um einen Hochpass. Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz werden bedämpft, oberhalb der Grenzfrequenz durchgelassen.
	Es handelt sich um einen Tiefpass. Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz werden bedämpft, unterhalb der Grenzfrequenz durchgelassen.
	Es handelt sich um einen Bandpass. Frequenzen oberhalb der oberen Grenzfrequenz und Frequenzen unterhalb der unteren Grenzfrequenz werden bedämpft. Er lässt nur einen bestimmten Frequenzbereich passieren.

Prüfungsfrage

TD229 Das nebenstehende Bild zeigt ein induktiv gekoppeltes Bandfilter und vier seiner möglichen Übertragungskurven (a bis d). Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

	Bei der c-Kurve ist die Kopplung loser als bei der a-Kurve.
	Bei der b-Kurve ist die Kopplung loser als bei der c-Kurve.
	Bei der a-Kurve ist die Kopplung loser als bei der c-Kurve.
	Bei der b-Kurve ist die Kopplung loser als bei der d-Kurve.

Hinweis: Siehe Bild 4-10!

Prüfungsfrage

TD230 Das nebenstehende Bild zeigt ein typisches ZF-Filter und vier seiner möglichen Übertragungskurven (a bis d). Welche Kurve ergibt sich bei kritischer Kopplung und welche bei überkritischer Kopplung?

	Die c-Kurve zeigt kritische, die b-Kurve zeigt überkritische Kopplung.
	Die a-Kurve zeigt kritische, die b-Kurve zeigt überkritische Kopplung.
	Die b-Kurve zeigt kritische, die a-Kurve zeigt überkritische Kopplung.
	Die d-Kurve zeigt kritische, die c-Kurve zeigt überkritische Kopplung.

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Siehe Bild 4-10! Kritisch: Es wird das Maximum erreicht. Überkritisch: Es wird das Maximum "überschritten", d.h. es gibt einen Einbruch.

Sperrkreis, Bandpass, Leitkreis, Saugkreis

Den Parallelschwingkreis und den Serienschwingkreis kann man außer in Bandfilterkombinationen auch in Leitungswege einschleifen und erhält damit verschiedene Anwendungen.

Schaltet man wie in Bild 4-11 A einen Parallelkreis in Reihe zum Signalweg, erhält man einen „Sperrkreis“ oder auch Sperrfilter, denn für den Bereich um die Resonanzfrequenz mit entsprechender Bandbreite ist der Scheinwiderstand groß. Dadurch wird dieser Bereich gesperrt. Achten Sie beim Frequenzgang darauf, dass hier die Spannung am Ausgang aufgetragen ist und nicht wie bei den Prüfungsfragen TD201 bis TD203 die Impedanz!

Schaltet man den Parallelschwingkreis parallel zum Signalweg, werden alle Frequenzen neben der Resonanzfrequenz kurzgeschlossen. Es bleibt nur noch ein schmaler Bandbereich übrig. Man erhält einen Bandpass.

Prüfungsfrage

TD222 Was stellt diese Schaltung dar?

	Sperrkreis
	Hochpass
	Saugkreis
	Tiefpass

Prüfungsfrage

TD223 Bei dem dargestellten Filter handelt es sich um ein ...

	Dämpfungsglied.
	Tiefpassfilter.
	Hochpassfilter.
	Sperrfilter.

Mit Serienschwingkreisen kann man ein ähnliches Verhalten erzielen. Schaltet man einen Reihenschwingkreis in Reihe zum Signalweg, werden bevorzugt die Frequenzen durchgelassen, die in dem Bereich der Bandbreite des Schwingkreises liegen, weil er dort sehr niederohmig ist und die Signale gut durchlässt. Man nennt ihn Leitkreis, also einen Schwingkreis der gut leitet.

Prüfungsfrage

TF319 Welche Konfigurationen wäre für die Unterdrückung unerwünschter Signale am Eingang eines Empfängers hilfreich?

Die Besprechung der Schaltungen C und D erfolgt später.

Ein umgekehrtes Verhalten bekommt man, wenn der Serienschwingkreis zum Signalweg parallel geschaltet wird wie im Bild 4-12 B. Bei der Resonanzfrequenz leitet der Kreis sehr gut und schließt diese Frequenzen praktisch kurz. Man nennt die Schaltung Saugkreis, weil sie einen schmalen Frequenzbereich „absaugt“. Er wird zum Beispiel zur Störungsunterdrückung beim gestörten Empfänger eingesetzt.

Prüfungsfrage

TD221 Was stellt diese Schaltung dar?

	Sperrkreis
	Hochpass
	Saugkreis
	Tiefpass

Tiefpass – Hochpass

Andere Kombinationen von Spule und Kondensator stellen folgende Schaltungen dar. Diese wurden bereits im Lehrgang zur Klasse E vorgestellt und erläutert.

Prüfungsfrage

TD220 Was stellt diese Schaltung dar?

	Hochpass
	Tiefpass
	Saugkreis
	Sperrkreis

Prüfungsfrage

TD219 Was stellt diese Schaltung dar?

	Hochpass
	Bandpass
	Sperrkreis
	Tiefpass

Prüfungsfrage

TD226 Welche Schaltung stellt ein Hochpassfilter dar?

Das Tiefpassfilter in Pi-Schaltung nach Bild 4-15 B lässt sich gut als Entstörfilter für die Netzleitung verwenden. Die tiefe Frequenz von 50 Hertz wird gut durchgelassen aber die höheren Funkfrequenzen werden unterdrückt und gelangen nicht in die Netzleitung. Allerdings wird dieses Filter meistens symmetrisch aufgebaut, damit beide Netzleitungen entstört werden. Sie finden die Schaltung in folgender Prüfungsaufgabe.

Prüfungsfrage

TD322 Welche der dargestellten Schaltungen könnte in den Netzeingang eines Geräts eingebaut werden, um HF-Rückfluss in das Stromversorgungsnetz zu verringern?

Kommentar: Es soll keine Gleichstromleistung verloren gehen, aber hohe Frequenzen unterdrückt werden.

Es lassen sich mehrere Tiefpass- oder Hochpassglieder hintereinanderschalten. Bei einer Hintereinanderschaltung von zwei Tiefpassgliedern unterscheidet man die T-Schaltung (Bild 4-14 A) weil sie wie ein großes „T“ aussieht und die Pi-Schaltung, weil sie wie ein griechischer Buchstabe π aussieht. Gleiches gilt für entsprechende Hochpassschaltungen, wenn man Spulen und Kondensatoren miteinander vertauscht.

Prüfungsfrage

TD225 Im folgenden Bild ist ein Filter dargestellt. Es handelt sich um

	ein Tiefpassfilter.
	ein Sperrfilter.
	ein Notchfilter in Verbindung mit einem Hochpassfilter.
	ein Hochpassfilter.

Im Bild 4-17 handelt es sich um die Kombination aus der Parallelschaltung von Parallelschwingkreisen und der Serienschaltung eines Serienschwingkreises. Man erreicht steilere Filterflanken. Dadurch wird die Durchlasswirkung verbessert.

In der Sendertechnik - besonders bei Röhrenendstufen - wird ein spezielles Pi-Filter für die Anpassung des Senderinnenwiderstandes an die Antenneneingangsimpedanz verwendet.

Resonanztransformation

Schwingkreise in Resonanz kann man sehr gut für Transformationszwecke verwenden. Dabei wird nicht die Induktivität als Transformator verwendet, sondern das Verhältnis der Kapazitäten von zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren. Als Kondensatoren verwendet man oft veränderbare Drehkondensatoren und kann so stufenlos anpassen.

Im Bild sieht man links den normalen Schwingkreis mit zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren, zwischen denen der Massepunkt liegt. Etwas umgezeichnet wird daraus die Pi-Schaltung. Für Interessierte folgt eine Ableitung einer Formel, wie man mit dem Verhältnis der Kondensatoren die Widerstände anpassen kann. Nehmen wir an, der Ausgang wird mit R₂ belastet. Dies ist kein Prüfungsthema!

Eingangsleistung gleich Ausgangsleistung:

\[ \begin{align} P_1 &= P_2 \quad \quad |\text{Leistung einsetzen} \\ \\ \frac{{U_1}^2}{R_1} &= \frac{{U_2}^2}{R_2} \quad |\cdot \frac{R_1}{{U_2}^2} \\ \\ \frac{{U_1}^2}{{U_2}^2} &= \frac{R_1}{R_2} \quad |\sqrt{\cdots} \\ \\ \frac{U_1}{U_2} &= \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \end{align} \]

Außerdem verhalten sich in einem abgestimmten Schwingkreis die Spannungen wie die Wechselstromwiderstände.

\[ \begin{align} \frac{U_1}{U_2} = \frac{{X_C}_1}{{X_C}_2} &= \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \\ \quad \frac{\frac{1}{C_1}}{\frac{1}{C_2}} &= \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \\ \quad \frac{C_2}{C_1} &= \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \end{align} \]

Die Kapazitäten verhalten sich also umgekehrt wie die zu transformierenden Widerstände.

Beispiel

Eine Senderendstufenröhre hat bei 600 V Anodenspannung einen Anodenstrom von 300 mA. Mittels Pi-Filter soll an eine Antennenanlage mit 50 Ohm Eingangswiderstand angepasst werden. Der anodenseitige Kondensator hat eine Kapazität von 30 pF bis 270 pF. Er sollte bei Anpassung auf Mittelwert stehen. Welchen Wert müsste der antennenseitige Kondensator haben?

Lösung: Der Röhreninnenwiderstand R₁ berechnet sich aus dem Verhältnis von Anodenspannung zu Anodenstrom.

\[ \begin{align} R_1 &= \frac{U_a}{I_a} = \frac{600 \ \text{V}}{300 \ \text{mA}} = 2 \ \text{k}\Omega \\ \\ \frac{R_1}{R_2}& = \frac{2 \ \text{k}\Omega}{50\Omega} = 40 \\ \\ \frac{C_2}{C_1} &= \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{40}=6{,}32 \\ \\ C_2&=6,32 \cdot C_1 \end{align} \]

Der antennenseitige Kondensator müsste also 6,32-mal größer sein als der Mittelwert des anodenseitigen Drehkos. Der Mittelwert des Drehkos C₁ ist

\[ \begin{align} C_\text{mittel} &= \frac{C_\text{min} + C_\text{max}}{2} = \frac{30\ \text{pF} + 270\ \text{pF}}{2} = 150\ \text{pF} \\ \\ C_2 &= 6,32 \cdot 150\ \text{pF} = \mathbf{948\ \text{pF}} \end{align} \]

Prüfungsfrage

TG315 Das folgende Bild zeigt eine HF-Endstufe. Welche Bedeutung und Funktion haben C₁, C₂ und L₁ ? Wie sind die Bedienknöpfe der beiden Kondensatoren an einer Endstufe wahrscheinlich beschriftet?

	An dem Drehknopf für C₁ steht "C_Plate" oder "Plate", an dem für C₂ steht "C_Load" oder "Load". Die drei Bauelemente C₁, C₂ und L₁ bilden zusammen einen so genannten Pi-Tankkreis zur Anpassung der Ausgangsimpedanz der Röhre an die Antennenimpedanz.
	An dem Drehknopf für C₁ steht "C_Load" oder "Load", an dem für C₂ steht "C_Plate" oder "Plate". Die drei Bauelemente C₁, C₂ und L₁ bilden zusammen ein abstimmbaren Sperrkreis zur Unterdrückung von Harmonischen.
	An dem Drehknopf für C₁ steht "C_Plate" oder "Plate", an dem für C₂ steht "C_Load" oder "Load". Die drei Bauelemente C₁, C₂ und L₁ bilden zusammen ein abstimmbaren Sperrkreis zur Unterdrückung von Harmonischen.
	An dem Drehknopf für C₁ steht "C_Load" oder "Load", an dem für C₂ steht "C_Plate" oder "Plate". Die drei Bauelemente C₁, C₂ und L₁ bilden zusammen einen so genannten Pi-Tankkreis zur Anpassung der Ausgangsimpedanz der Röhre an die Antennenimpedanz.

RC-Glieder als Tief- und Hochpass

Statt einer Spule lässt sich auch ein billiger Widerstand einsetzen. Das Verhalten bleibt prinzipiell gleich. Jedoch sind die Flanken weniger steil.

Die Frequenz, bei der beim Tiefpass die Ausgangsspannung auf 70,7% (-3dB) abgesunken beziehungsweise beim Hochpass 70,7% des Endwertes erreicht wird, nennt man Grenzfrequenz. Die Grenzfrequenz f_g dieser RC-Glieder lässt sich recht einfach berechnen. Die Formel steht in der Formelsammlung der BNetzA (Anhang).

\[ \boxed{f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot R \cdot C}} \]

Prüfungsfrage

TD213 Welche Grenzfrequenz ergibt sich bei einem RC-Tiefpass mit einem Widerstand von 10 kΩ und einem Kondensator von 50 nF?
	0,32 Hz
	318 Hz
	421 Hz
	318 kHz

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

\[ \begin{align} &f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 10^3 \ \Omega \cdot 50 \cdot 10^{-9} \ \text{F}} \\ \\ &\frac{1}{\Omega \cdot \text{F}} = \frac{1}{\frac{\text{V}}{\text{A}}} = \frac{1}{\frac{\text{As}}{\text{V}}} = \frac{1}{s} = \text{Hz} \end{align} \] Eingabe Taschenrechner:
\[ \boxed{2} \ \boxed{\times} \ \boxed{\pi} \ \boxed{\times} \ \boxed{1} \ \boxed{0} \ \boxed{\text{EXP}} \ \boxed{0} \ \boxed{3} \ \boxed{\times} \ \boxed{5} \ \boxed{0} \ \boxed{\text{EXP}} \ \boxed{\pm} \ \boxed{9} \ \boxed{=} \ \boxed{\frac{1}{x}} \] Ergebnis: 318,3 Hz

Und so sieht eine Anwendung des Parallelschwingkreises bei einem Hochfrequenzverstärker aus. Die Wicklung des Übertragers dient als Schwingkreisinduktivität. Mehr dazu im Kapitel 7!

Prüfungsfrage

TD205 Kann die Wicklung eines Übertragers zusammen mit einem Kondensator als Schwingkreis dienen?
	Ja, die Wicklung des Übertragers dient dann als Schwingkreisinduktivität.
	Nein, ein Übertrager kann nur Spannungen und Ströme umsetzen.
	Ja, es geht dann die Summe der Induktivitäten beider Wicklungen des Übertragers ein.
	Ja, aber zu jeder Wicklung muss ein passend gewählter Kondensator in Reihe geschaltet werden.

Viel Erfolg beim Lehrgang wünscht Ihnen Eckart Moltrecht DJ4UF!

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Copyright-Hinweis:
	Dieser DARC-Online-Lehrgang wurde mit freundlicher Genehmigung des Autors Eckart K. W. Moltrecht aus seinen Büchern "Amateurfunk-Lehrgang für das Amateurfunkzeugnis" aus dem VTH-Verlag (möglicherweise einer älteren Auflage!) für das Internet umgewandelt. Das Copyright liegt beim Autor und beim Verlag. Mehr über den Autor!
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Letzte Bearbeitung: 16.06.2017 DJ4UF, 04.04.2020 DH8GHH
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