DARC-Online-Lehrgang Technik Klasse A Kapitel 1: Mathematische Grundkenntnisse

DARC-Online-Lehrgang Technik Klasse A Kapitel 1: Mathematische Grundkenntnisse

Kapitel 1: Mathematische Grundkenntnisse

Lehrgang nach dem aktuellen Fragenkatalog der Bundesnetzagentur. Zum Download des Fragenkatalogs

Hinweis: Für das sinnvolle Bearbeiten dieses Amateurfunklehrgangs benötigen Sie einen Taschenrechner, der außer den Grundfunktionen noch den Logarithmus (log) und die \(\frac{1}{x}\)-Funktion enthält.

Die Prüfung zum Amateurfunkzeugnis Klasse A enthält wesentlich mehr Berechnungen, als dies für Klasse E der Fall ist. Deshalb sollen hier die mathematischen Voraussetzungen zum besseren Verständnis der folgenden Kapitel geschaffen werden. Wenn Ihnen aber Mathematik "ein Gräuel" ist, beginnen Sie mit Kapitel 4 oder 5 und arbeiten Sie die ersten Kapitel später durch. Sie benötigen dazu die Formelsammlung aus dem Fragenkatalog.

Größen und Einheiten

Bereits im Lehrgang zur Klasse E haben Sie das SI-Einheiten-System (System International) kennen gelernt. In dem System sind sieben Basisgrößen (Länge, Masse, Zeit, Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge, Lichtstärke) und die zugehörigen Basiseinheiten festgelegt. Hier noch einmal die übersicht:

Basisgrößen Einheiten Zeichen
Länge Meter m
Masse Kilogramm kg
Zeit Sekunde s
Stromstärke Ampere A
Temperatur Kelvin K
Stoffmenge Mol mol
Lichtstärke Candela cd

Man nennt dieses System in der Reihenfolge der Einheiten auch MKSA-KMC-System oder kurz MKSA-System, weil die vier ersten Einheiten die wichtigsten sind. Alle anderen Einheiten können hieraus abgeleitet werden.

Testen Sie sich, indem Sie links auf die Fragezeichen klicken, aber nur einmal in jeder Tabelle!

Prüfungsfrage
TA106  Welche der nachfolgenden Antworten enthält nur Basiseinheiten nach dem internationalen Einheitensystem?
Meter, Kelvin, Sekunde, Ampere
Radiant, Meter, Volt, Watt
Farad, Henry, Ohm, Sekunde
Grad, Hertz, Ohm, Sekunde

Sie haben die Frage gut beantwortet, wenn Sie in der linken Spalte nur einmal das Wort "Richtig" sehen und keinmal "Falsch".

Aus diesen Basiseinheiten ergeben sich alle abgeleiteten gesetzlichen Einheiten, wie zum Beispiel Fläche, Dichte, Frequenz, Energie, Leistung, Spannung, Widerstand und so weiter.

Abgeleitete Einheiten

Größe Formel­buchstabe Maßeinheit Abk. der Einheit
Ladung Q Coulomb C = As
Spannung U Volt V
Leistung P Watt W = V · A
Arbeit W Wattsekunde Ws = VAs
El. Feldstärke E Volt pro Meter V/m
Magn. Feldstärke H Ampere pro Meter A/m
Flussdichte B Tesla Vs/m2
Frequenz f Hertz Hz=1/s
Widerstand, Impedanz R Ohm Ω=V/A
Leitwert G Siemens S=1/Ω
Kapazität C Farad F=As/V
Induktivität L Henry H=Vs/A
Prüfungsfrage
TA101  Welche Einheit wird für die elektrische Feldstärke verwendet?
Henry pro Meter (H/m)
Watt pro Quadratmeter (W/m2)
Ampere pro Meter (A/m)
Volt pro Meter (V/m)
Prüfungsfrage
TA102  Welche Einheit wird für die magnetische Feldstärke verwendet?
Amperemeter (Am)
Tesla (T)
Ampere pro Meter (A/m)
Henry pro Meter (H/m)
Prüfungsfrage
TA103  In welcher Einheit wird die Impedanz angegeben?
Siemens
Farad
Ohm
Henry

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Impedanz ist ein Wechselstromwiderstand. Auch ein Wechselstromwiderstand wird in Ohm angegeben.

Unter Widerstand werden Sie im folgenden Kapitel noch den Leitwert kennenlernen. Der Leitwert ist der Kehrwert eines Widerstandes. Die Einheit des Leitwertes wäre also 1/Ω oder A/V. Für diese abgeleitete Einheit Ampere geteilt durch Volt hat man als Abkürzung die Einheit Siemens eingeführt.

Prüfungsfrage
TA104  Die Einheit "Siemens" wird verwendet für die Angabe
der Impedanz einer Leitung.
des ohmschen Widerstands.
des Leitwertes eines Widerstands.
der magnetischen Feldstärke.
Prüfungsfrage
TA105  Wenn [s] für Sekunde steht, gilt für die Einheit der Frequenz
\( \large \text{Hz} = \frac{1}{s} \)
\( \large \text{Hz} = s \)
\( \large \text{Hz} = s^2 \)
\( \large \text{Hz} = \frac{1}{s^2} \)

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Diese Einheit Hz ist für den Funkamateur eine der wichtigsten. Sicher kennen Sie diese Einheit bereits aus der Frequenz des Wechselstroms mit 50 Hz. 50 Hz bedeutet 50 Schwingungen pro Sekunde. „Pro Sekunde“ wird mathematisch als 1/s geschrieben.

Zehnerpotenzen

Das Messergebnis kann ein Vielfaches oder ein Teil einer Einheit sein. Es werden meist dezimale Vielfache oder Teile von Einheiten benutzt, zum Beispiel kilo für tausendfach oder milli für ein Tausendstel. Auch die folgende Tabelle ist aus dem Lehrgang zur Klasse E bekannt.

Faktor Potenz Vorsatz  
billionenfach 1012 Tera T
milliardenfach 109 Giga G
millionenfach 106 Mega M
tausendfach 103 kilo k
hundertfach 102 hekto h
zehnfach 101 deka da
zehntel 10-1 dezi d
hundertstel 10-2 zenti c
tausendstel 10-3 milli m
millionstel 10-6 mikro µ
milliardstel 10-9 nano n
billionstel 10-12 piko p

Achten Sie darauf, dass die Abkürzungen für Tera, Giga und Mega mit großen Buchstaben und alle anderen mit kleinen Buchstaben geschrieben werden. Besonders wichtig ist es bei m oder M (milli oder Mega) und bei k für kilo, denn das große K wird in der Digitaltechnik auch für Kilo verwendet, wobei dort K = 1024 ist. 1 Kilobyte (1 KB) sind 1024 Byte.

1 · 10-6 ist gleichbedeutend mit \[ \frac{1}{10^{+6}} = \frac{1}{1000000} = 0{,}000001 \] Für die Umwandlung in kilo, milli, mikro und so weiter ist es zweckmäßig, wenn die Hochzahlen die Werte 3 (kilo), 6 (Mega), 9 (Giga) oder -3 (milli), -6 (mikro), -9 (nano) oder -12 (piko) haben.

Prüfungsfrage
TA111  100 mW entspricht
0,01 W.
0,001 W.
10-1W.
10-2W.

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Kommentar: 100 mW sind 0,1 W und 0,1 W sind 10-1W.

Prozent, Promille, „ppm“

Übersicht

Wert als Teiler als Bruch als Zehnerpotenz
1 Prozent 1 Hundertstel 1/100 10-2
1 Promille 1 Tausendstel 1/1000 10-3
1 ppm 1 Millionstel 1/1000000 10-6

Prozent ist 1/100 oder 10-2. Man braucht also nur das Komma um zwei Stellen, bei Promille um drei Stellen nach links zu verschieben.

Beispiel
1 % von 14300 kHz sind 143 kHz.
2 % von 14300 kHz sind 2 mal 143 kHz, also 286 kHz.
1 Promille von 14300 kHz sind 14,3 kHz.

ppm kommt von parts per million (Teile von einer Million). Diese Angabe wird bei der Genauigkeit von Frequenzen, bei der Frequenzstabilität von Transceivern oder Temperaturstabilität von Quarzen und so weiter verwendet.

Prüfungsfrage
TA118  Die digitale Anzeige eines Senders hat eine Anzeigegenauigkeit von 10 ppm. Sie zeigt die Sendefrequenz von 14,25 MHz an. In welchen Grenzen kann sich die tatsächliche Frequenz bewegen?
Zwischen 14,24998575  und       14,25001425 MHz
Zwischen 14,2498575    und       14,2501425 MHz
Zwischen 14,249998575 und      14,250001425 MHz
Zwischen 14,248575      und       14,251425 MHz

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

1 ppm ist ein Millionstel. Bei 1 MHz sind 1 Millionstel genau ein Hertz. Ein ppm von 14,25 MHz sind also 14,25 Hertz. 10 ppm sind demnach 142,5 Hertz.

14250000 Hz + 142,5 Hz = 14250142,5 Hz = 14,2501425 MHz
14250000 Hz - 142,5 Hz = 14249857,5 Hz = 14,2498575 MHz

Prüfungsfrage
TA117  Eine Genauigkeit von 1 ppm entspricht
0,0001 %
0,001 %
0,01 % 
0,1 %

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

1 ppm = 0,000001. Das ist ein Millionstel. Wenn daraus Prozent gemacht werden soll, muss das Komma um zwei Stellen nach rechts gerückt werden, also 0,0001 %.

Formeln umstellen

Im Fragenkatalog gibt es unter Punkt 1.1.1 Allgemeine mathematische Kenntnisse einen Hinweis, dass der erforderliche Prüfungsstoff in den folgenden Abschnitten enthalten ist. Weil das Umstellen von Formeln praktisch Grundvoraussetzung für die Lösung aller Aufgaben ist, soll es in einem kleinen Vorspann geübt werden. Die mit ÜB gekennzeichneten Aufgaben gibt es im Fragenkatalog nicht. Sie dienen als Vorübung. Recht häufig kommt die einfache Formelumstellung vor, bei der das Ohmsche Gesetz \[ U = R \cdot I \] oder die einfache Leistungsformel \[ P = U \cdot I \] nach einer der drei Größen umgestellt werden muss. Mathematisch funktioniert es so, dass man einfach auf beiden Seiten durch diejenige Größe teilt, die man weg haben möchte.
Beispiel \[ P = U \cdot I \] soll nach I umgestellt werden.
Lösung: Man dividiert auf beiden Seiten der Gleichung durch U und I bleibt auf einer Seite übrig.


Wie Sie bereits im Lehrgang zur Klasse E gelernt haben, kann folgendes Hilfsmittel benutzt werden. Man schreibt die Formel in folgender Weise in ein Dreieck.

Bild 1-1: URI- und PUI-Dreieck

Die Anwendung dieses Dreiecks funktioniert folgendermaßen. Wenn man beispielsweise beim Ohmschen Gesetz nach dem Strom umstellen will, hält man den Buchstaben I zu und schaut, was übrig bleibt. Der waagerechte Strich ersetzt den Bruchstrich. Also in diesem Fall ist \[ I = \frac{U}{R} \]

In der Prüfung kommen recht schwierige Formelumstellungen vor, die am Beispiel der Leistungsformel mit dem Widerstand geübt werden sollen. Wenn Sie allerdings zu solchen mathematischen Exkursionen keine Lust haben, können Sie versuchen, sich die Antworten zu merken und mit dem nächsten Abschnitt Dezibel weiter machen.

Prüfungsfrage
TB923  In welcher Antwort sind alle dargestellten Zusammenhänge zwischen Strom, Spannung, Widerstand und Leistung richtig?
\( \large I = \sqrt{\frac{P}{R}} ; \ \ U = \sqrt{P \cdot R} \)
\( \large I = \sqrt{P \cdot R} ; \ \ U = \sqrt{\frac{P}{R}} \)
\( \large I = \sqrt{\frac{R}{P}} ; \ \ U = \sqrt{P \cdot R} \)
\( \large I = \frac{\sqrt{P}}{R} ; \ \ U = \sqrt{P} \cdot R \)

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Folgende Grundformeln stehen in der Formelsammlung der BNetzA und damit auch hier im Buch im Anhang.

Die Lösung läuft darauf hinaus, die eine Formel nach U und die andere nach I umzustellen. Beginnen wir mit \[ P = \frac{U^2}{R} \] U wird gesucht. Das Prinzip beim Umstellen von Formeln ist immer, die gesuchte Größe auf einer Seite allein übrig zu lassen. Wenn die gesuchte Größe bereits im Zähler steht, bringt man zunächst alles andere durch Multiplizieren und Teilen weg. Hier also multiplizieren Sie zunächst mit R. Sie erhalten \[ P \cdot R = U^2 \] Weil U gesucht ist, hier aber noch U2 steht, muss auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden und Sie erhalten \[ \sqrt{P \cdot R } = U \] Nun folgt die zweite Formel \[ P = I^2 \cdot R \] Teilen Sie zunächst durch R \[ \frac{P}{R} =I^2 \] und ziehen Sie auf beiden Seiten die Wurzel \[ I = \sqrt{\frac{P}{R}} \]
Nun suchen Sie die richtige Zeile in TB923 und TB924!

Prüfungsfrage
TB924  In welcher Antwort (Zeile) sind alle dargestellten Zusammenhänge zwischen Widerstand, Leistung, Spannung und Strom richtig?
\( \large R = \frac{U^2}{P} ; \ \ R = \frac{P}{I^2} \)
\( \large R = U^2 \cdot P; \ \ R = \frac{P}{I^2} \)
\( \large R = \frac{P}{U^2}; \ \ R = P \cdot I^2 \)
\( \large R = \frac{U^2}{P}; \ \ R = P \cdot I^2 \)

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Wiederum gehen wir von den Grundformeln aus der Formelsammlung der BNetzA aus. \[ P = \frac{U^2}{R} \ \text{und} \ P = I^2 \cdot R \] Diesmal müssen beide Formeln nach R umgestellt werden. Beginnen wir mit \[ P = \frac{U^2}{R} \] Die gesuchte Größe steht im Nenner. Deshalb muss sie zunächst durch Malnehmen in den Zähler auf die andere Seite gebracht werden. Sie erhalten \[ P \cdot R = U^2 \] Weil R gesucht wird, muss P durch Teilen weggebracht werden. Es bleibt \[ R = \frac{U^2}{P} \] Nun zur Formel \[ P = I^2 \cdot R \] Teilen Sie beide Seiten durch I2. \[ \frac{P}{I^2} = R \] Alles klar? Sie finden die richtige Zeile in TB924?

Übungsfrage
ÜB101  Stellen Sie die Formel um nach der Größe R: \( \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \)
Welche Lösung ist richtig?
\( \large R = \frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2} \)
\( \large R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \)
\( \large R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 - R_2} \)
\( \large R = \frac{R_1 - R_2}{R_1 \cdot R_2} \)

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Hier muss man aufpassen, weil Brüche und Summen darin vorkommen. Bitte denken Sie immer an den Spruch „In Summen kürzen nur die Dummen“. Weil die gesuchte Größe R im Nenner steht, muss die gesamte Formel mit R multipliziert werden. \[ \frac{1}{1} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \cdot R \] Um jetzt durch Malnehmen und Teilen die beiden Größen R1 und R2 auf die andere Seite wegbringen zu können, muss aus der Summe ein gleichnamiger Bruch gemacht werden. Dazu muss der erste Bruch mit R2 und der zweite mit R1 erweitert werden. \[ \frac{1}{1} = \left( \frac{1 \cdot R_2}{R_1 \cdot R_2} + \frac{1 \cdot R_1}{R_2 \cdot R_1} \right) \cdot R \] Nun kann man die Brüche zusammenfassen und auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben \[ \frac{1}{1} = \left( \frac{R_2 + R_1}{R_1 \cdot R_2} \right) \cdot R \] Dann multipliziert man beide Seiten mit R1 · R2 und teilt dann beide Seiten durch R2 + R1. \[ \frac{1 \cdot ( R_1 \cdot R_2)}{1 \cdot ( R_2 + R_1)} = R \] Dann kann man die Einsen und auch die Klammern weglassen. \[ R = \frac{R_1 \cdot R_2}{ R_1 + R_2} \] Fertig!

Übungsfrage
ÜB102  Stellen Sie die Formel um nach der Größe R1 . \( R = \frac{R_1 \cdot R_2}{ R_1 + R_2} \)
Welche Lösung ist richtig?
\( \large R_1 = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 - R} \)
\( \large R_1 = \frac{R_2 - R}{R_2 \cdot R} \)
\( \large R_1 = \frac{R \cdot R_2}{R - R_2} \)
\( \large R_1 = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 + R} \)

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

In diesem Fall ist die gesuchte Größe im Nenner einer Summe. Dies ist der schwierigste Fall einer Formelumstellung. Man muss zunächst den gesamten Bruch, der nicht die gesuchte Größe enthält, auf die andere Seite bringen (subtrahieren). Versuchen Sie es allein!

So geht es:
Gesucht R1, also R1 auf eine Seite bringen oder auf einer Seite lassen. ( \(\frac{1}{R_2} \) abziehen) \[ \begin{align} \frac{1}{R} &= \frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2} \\ \\ \frac{1}{R} &= \frac{R_1}{R_1 \cdot R_2} + \frac{R_2}{R_1 \cdot R_2} &|& \ \text{Kürzen}\\ \\ \frac{1}{R} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} &|& \ \frac{1}{R_2} \text{abziehen} \\ \\ \frac{1}{R} - \frac{1}{R_2} &= \frac{1}{R_1} &|& \text{auf gleichen Nenner bringen} \\ \\ \frac{1 \cdot R_2}{R \cdot R_2} - \frac{1 \cdot R}{R \cdot R2} &= \frac{1}{R_1} &|& \ \text{zusammenfassen} \\ \\ \frac{R_2 - R}{R \cdot R_2} &= \frac{1}{R_1} &|& \ \text{Zähler/Nenner umdrehen}\\ \\ \frac{R \cdot R_2}{R_2 - R} &= \frac{R_1}{1} \end{align} \] Können Sie dies so verstehen?

Das Dezibel

Im Amateurfunklehrgang für die Klasse E wurde im Bereich E10 dem Dezibel fast ein komplettes Kapitel gewidmet. Hier folgt eine kleine Zusammenfassung in Form der Leistungsformel.

Wenn Leistungen gegeben sind, rechnet man bei einem Verstärker

\[ v = 10 \cdot \lg \frac{P_2}{P_1}[\text{dB}] \]

P1 = Eingangsleistung, P2 = Ausgangsleistung

Übungsfrage
ÜB103  Wie viel Dezibel (dB) entsprechen einer vierfachen Leistung?
3 dB
6 dB
10 dB
16 dB

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Nehmen Sie an, es sei ein Verstärker mit P1 = 1 W und P2 = 4 W. Rechnen Sie immer mit dem größeren Wert durch den kleineren Wert. Im umgekehrten Fall kommt Minus heraus. Minus würde dann Dämpfung bedeuten. Aber Achtung! Rechnet man mit Dämpfungen, ergibt eine Verstärkung einen negativen Wert. Dazu folgt später die Aufgabe TB923. \[ v = 10 \cdot \lg \frac{4 \ \text{W}}{1\ \text{W}}[\text{dB}] \] Watt kürzt sich heraus. 4 geteilt durch 1 bleibt natürlich 4. Drücken Sie die log-Taste. Dieses Ergebnis multiplizieren Sie mit 10 und Sie erhalten 6,02.

Merken Sie sich: 4-facher Leistung entsprechen 6 dB

Rechnen Sie außerdem einmal mit dem Faktor 2 (2 Watt und 1 Watt) und mit dem Faktor 10 (10 Watt und 1 Watt) und merken Sie sich diese Werte ebenfalls. Sie finden die Ergebnisse in folgender Tabelle.

Leistungsfaktor Dezibel
2 3 dB
4 6 dB
10 10 dB
Prüfungsfrage
TD417  Ein Leistungsverstärker hebt die Eingangsleistung von 2,5 Watt auf 38 Watt Ausgangsleistung an.
Wie groß ist die Leistungsverstärkung in dB?
11,8 dB
15,2 dB
17,7 dB
23,6 dB

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

\[ v = 10 \dot \lg \frac{38 \ \text{W}}{2{,}5 \ \text{W}}\text{dB} = \mathbf{11{,}8 \ \text{dB}} \]

Praktisch bei der Rechnung mit Dezibel ist, dass man diese Werte einfach addieren kann, wenn mehrere Verstärkungen oder Gewinne gegeben sind und subtrahieren, wenn beispielsweise bei Kabeln Dämpfungen auftreten.

Beispiel

Dezibel 10 dB + 3 dB = 13 dB
Leistungs-
faktoren
10 · 2 = 20

Rechnen Sie nach! Machen Sie die Probe, indem Sie Logarithmus von 20 und dann mal 10 rechnen! Es muss 13 dB heraus kommen.
Haben Sie beispielsweise einen Sender mit 1 Watt Ausgangsleistung, dahinter eine Endstufe mit 10 dB Leistungsverstärkung und daran angeschlossen eine Antenne mit 3 dB Gewinn (Gewinn verhält sich wie Verstärkung), dann haben Sie einen Leistungsfaktor von 20 und damit 20 Watt Strahlungsleistung. Diese Strahlungsleistung nennt man auch ERP (effective radiated power). Mehr dazu unter Antennentechnik!

Umgekehrt wird es schwieriger, nämlich aus einem gegebenen dB-Wert den Verstärkungsfaktor zu berechnen.

Prüfungsfrage
TD418  Ein HF-Verstärker hat einen Gewinn von 16 dB.
Welche Leistung ist am HF-Ausgang bei einer Eingangsleistung von 1 W?
1 W
4 W
16 W
40 W

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

16 dB lässt sich sehr gut in Faktoren zerlegen, denn 16 dB = 10 dB + 6 dB.
10 dB sind zehnfache Leistung, also aus 1 W wird zunächst 10 W und 6 dB sind nochmals vierfache Leistung. Also wird daraus 40 Watt.

Man kann Dämpfungen und Verstärkungen (Gewinne) sehr einfach miteinander verrechnen.

Beispiel:

ÜB103   Sie haben einen Sender mit 10 Watt Ausgangsleistung, dahinter ein Antennenkabel mit 2 dB Dämpfung und daran angeschlossen eine Antenne mit 8 dB Gewinn (gegenüber dem Dipol). Wie groß ist die ERP?

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

+8 dB (Gewinn) -2 dB (Dämpfung) ergibt +6 dB (Gewinn oder Verstärkung). 6 dB entsprechen Faktor 4, also haben Sie 40 Watt Strahlungsleistung (ERP). Weitere Aufgaben zu ERP unter Antennentechnik.

Es geht auch umgekehrt. Wenn ein Leistungsverstärkungsfaktor bekannt ist und man diesen leicht in Faktoren von 10 oder 4 oder 2 aufspalten kann, kann man leicht den Dezibelwert ermitteln.

Prüfungsfrage
TA108  Einer Leistungsverstärkung von 40 entsprechen
60 dB
32 dB
24 dB
16 dB

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

\[ \begin{align} 4 \cdot 10 &= 40 \\ 6 \ \text{dB} + 10 \ \text{dB} &= 16 \ \text{dB} \end{align} \]

Prüfungsfrage
TB920  Eine HF-Ausgangsleistung von 100 W wird in eine angepasste übertragungsleitung eingespeist. Am antennenseitigen Ende der Leitung beträgt die Leistung 50 W bei einem Stehwellenverhältnis von 1,0. Wie hoch ist die Leitungsdämpfung?
3 dB
-3 dB
6 dB
-6 dB

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

Wenn man mit Dämpfungen rechnet, sind negative dB-Werte Verstärkung. Berechnet man aber die Verstärkung (Gewinn) sind negative Werte Dämpfung. Sie wissen (natürlich!), dass halber Leistung 3 dB entspricht. Weil man hier nach Dämpfung fragt und es tatsächlich eine Dämpfung ist, gilt hier der positive Wert, Lösung A. Hätte man gefragt, welchen Gewinn die Anlage hat, käme heraus: Der Gewinn beträgt -3 dB. Prüfen wir dies einmal mit dem Taschenrechner nach, indem wir mit der Verstärkerformel rechnen. \[ v = 10 \cdot \lg \frac{P_2}{P_1} [\text{dB}] \] Bei Verstärkung rechnet man mit Ausgangsleistung zu Eingangsleistung. Es werden die Werte eingesetzt und mit dem Taschenrechner der Logarithmus gerechnet. Es kommt tatsächlich Minus heraus. Machen Sie bitte mit und geben Sie die Werte in Ihren Taschenrechner ein! \[ \begin{align} v &= 10 \cdot \lg \frac{50}{100} [\text{dB}] \\ \\ v &= -3{,}01 \ \text{dB} \end{align} \] Rechnen Sie mit der Dämpfungsformel aus der Formelsammlung \[ \begin{align} a &= 10 \cdot \lg \frac{P_1}{P_2} [\text{dB}] \\ \\ a &= 10 \cdot \lg \frac{100}{50} [\text{dB}] \\ \\ a &= 3{,}01 \ \text{dB} \end{align} \] und Sie erhalten den positiven Wert.

Merken Sie sich: Bei Dämpfungen rechnen Sie Eingangsleistung zu Ausgangsleistung und
bei Verstärkungen rechnen Sie Ausgangsleistung zu Eingangsleistung.

Dezibel bei Spannungen

Wenn Spannungen an einem bestimmten Widerstand gegeben sind, kann man für Leistung \( P = \frac{U^2}{R} \) einsetzen und erhält \[ a = 10 \cdot \lg \frac{U_1^2 \cdot R}{R \cdot U_2^2} [\text{dB}] \] R kann man kürzen und die Quadrate zusammenfassen. \[ a = 10 \cdot \lg \left(\frac{U_1}{U_2} \right)^2 [\text{dB}] \] und schließlich nach dem Logarithmengesetz \( \lg (b^x) = x \cdot \lg(b) \) wird daraus \[ a_U = 20 \cdot \lg\frac{U_1}{U_2}[\text{dB}] \] U1 = Eingangsspannung, U2 = Ausgangsspannung

Prüfungsfrage
TA107  Einem Spannungsverhältnis von 15 entsprechen
52 dB
47 dB
23,5 dB
11,7 dB

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

\[ \begin{align} a_U &= 20 \cdot \lg\frac{15}{1}\text{dB} = 20 \cdot 1{,}176 \ \text{dB} \\ \\ a_U &= 23{,}52 \ \text{dB} \end{align} \] Bei Verstärkungen rechnet man besser umgekehrt. Aber es bleibt der Faktor 20. \[ v_u = 20 \cdot \lg\frac{U_2}{U_1}\text{[dB]} \]

Prüfungsfrage
TD416  Ein NF-Verstärker hebt die Eingangsspannung von 1 mV auf 4 mV Ausgangsspannung an. Eingangs- und Ausgangswiderstand sind gleich. Wie groß ist die Spannungsverstärkung?
3 dB
6 dB
9 dB
12 dB

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

a) mittels Taschenrechner: \[ v_u = 20 \cdot \lg \left( \frac{4 \ \text{mV}}{1 \ \text{mV}} \right) \text{dB} = 12{,}0 \ \text{dB} \] b) durch Überlegung:
Vierfache Leistung wären 6 dB. Bei Spannungen ergibt sich immer der doppelte Wert, also 12 dB wegen des Faktors 20 statt 10.

Der Leistungspegel

In der Sendertechnik gibt man häufig die Ausgangsleistung nicht in Watt an, sondern in einem Verhältnis in Dezibel bezogen entweder auf ein Milliwatt oder ein Watt. Dies hat den Vorteil, dass man sofort Gewinnangaben von Antennen oder Verluste von Kabeln in Dezibel damit verrechnen kann.

Der Pegel dBm

\[ p = 10 \cdot \lg \left( \frac{P}{1 \ \text{mW}} \right) [\text{dBm}] \]

dBm steht für Dezibel bezogen auf ein Milliwatt.

Übungsfrage
ÜB104  Ein Sender hat eine Ausgangsleistung von 5 Watt. Angeschlossen ist ein Kabel mit insgesamt 2 dB Dämpfung und eine Antenne mit 10 dB Gewinn. Wie groß ist der Ausgangspegel in dBm?

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

\[ \begin{align} p &= 10 \cdot \lg \left( \frac{5 \ \text{W}}{1 \ \text{mW}} \right) [\text{dBm}] \\ \\ p &= \cdot \log \left( \frac{5000}{1} \right) [\text{dBm}] = 37{,}0 \ \text{dBm} \end{align} \]
Hiervon werden 2 dB abgezogen, ergibt 35 dBm und 10 dB addiert, ergibt 45 dBm.

Prüfungsfrage
TA112  Ein Sender mit 1 Watt Ausgangsleistung ist an eine Endstufe mit einer Verstärkung von 10 dB angeschlossen. Wie groß ist der Ausgangspegel der Endstufe?
10 dBm
20 dBm
30 dBm
40 dBm

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

1 W sind 1000 Milliwatt. Der Faktor 1000 bei Leistungen bedeutet 10 mal 10 mal 10, also 30 dBm. 10 dB Gewinn (Verstärkung) erhöhen den Pegel um 10 dB, also ergeben sich 40 dBm.

Der Pegel dBW

\[ \boxed{p = 10 \cdot \lg \left( \frac{P}{1 \ \text{W}} \right) [\text{dBW}]} \]

Hierbei ist der Bezugswert 1 Watt.

Prüfungsfrage
TA113  Der Ausgangspegel eines Senders beträgt 20 dBW. Dies entspricht einer Ausgangsleistung von
100,5W
101W
102W
1020W

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

0 dBW sind 1 Watt. 10 dB ist zehnfache Leistung. 20 dB ist zehnmal zehnfache Leistung gleich hundertfache Leistung. Also ist die Ausgangsleistung 100 Watt. 102 gleich 100.

Der Spannungspegel

Dort, wo nur Spannungen auftreten und keine Leistungen, kann man auch einen Spannungspegel definieren, zum Beispiel bei der elektrischen Feldstärke, die in Volt pro Meter angegeben wird. Ein häufig gebrauchter Bezugswert ist 1 Mikrovolt. Dann lautet die Formel für den Spannungspegel

\[ p = 20 \cdot \lg \left( \frac{U}{1 \ \text{µV}} \right) [\text{dBµV}] \]

Beispiel
Welchen Spannungspegel in dBµV ergibt die Spannung 1 Volt?

Lösung mit der Formel \[ \begin{align} p &= 20 \cdot \lg \left( \frac{1 \ \text{V}}{1 \ \text{µV}} \right) [\text{dBµV}] \\ \\ p &= 20 \cdot \lg \left( 10^6 \right) [\text{dBµV}] \\ \\ p &= 20 \cdot 6 \text{dBµV} = \mathbf{120 \ \text{dBµV}} \end{align} \] Damit lösen Sie umgekehrt leicht folgende Prüfungsfrage.

Prüfungsfrage
TA110  Der Pegelwert 120 dBµV/m entspricht einer elektrischen Feldstärke
1 V/m.
10 V/m.
1000 V/m.
1000 kV/m.

Lösung: Siehe Beispiel oberhalb!

Die S-Stufen

Eine weitere Anwendung der dB-Rechnung sind die „S-Stufen“ im Amateurfunk. In der Empfangstechnik hat man für die Angabe der Empfangsfeldstärke im RST-System für die Lautstärke S9 einen bestimmten Eingangspegel festgelegt. Mehr dazu im Lehrgang zu Klasse E!

Zusammenfassung aus dem Lehrgang Klasse E:

Kurzwelle: S9 entspricht 50µV an 50 Ω
UKW:          S9 entspricht 5 µV an 50 Ω

Jede S-Stufe entspricht 6 dB. 6 dB entsprechen einem Faktor 2 bei Spannungen, S8 hat also bei Kurzwelle einen Wert von 25 µV. Tabelle der S-Werte in µV:

S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1
KW 50 25 12,5 6,25 3,12 1,56 0,78 0,39 0,2
UKW 5 2,5 1,25 0,62 0,31 0,16 0,80 0,04 0,02

Bei Kurzwelle zum Beispiel entspricht S1 einer Empfangsspannung von 0,2 µV (das ist kleiner als Grenzempfindlichkeit) und bei UKW entspricht S1 = 20 nV (Nanovolt). Welcher Empfänger macht daraus ein lesbares Signal? S0 gibt es nicht.

Um auch Empfangsspannungen größer als 50 µV (bzw. 5 µV bei UKW) im RST-System angeben zu können, nennt man einfach die Dezibel über S9 als Zahlenwerte.

Übungsfrage
ÜB105  Welcher Empfangsspannung entspricht die Angabe S9+40 dB auf Kurzwelle?

Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

S9 = 50 µV. 40 dB entsprechen dem Spannungsfaktor 100. 
50 µV · 100 = 5000 µV = 5 mV

Prüfungsfrage
TA109  Wie groß ist der Unterschied von S4 nach S7 in dB?
3 dB
9 dB
18 dB
28 dB

Lösung: 3 S-Stufen entsprechen 3 mal 6 dB = 18 dB


Viel Erfolg beim Lehrgang wünscht Ihnen Eckart Moltrecht DJ4UF!


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Letzte Bearbeitung: 10.06.2017 DJ4UF, 04.04.2020 DH8GHH
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