DARC-Online-Lehrgang Technik Klasse E Kapitel 1: Mathematische Grundkenntnisse und Einheiten

    DARC-Online-Lehrgang Technik Klasse E Kapitel 1: Mathematische Grundkenntnisse und Einheiten

      Kapitel 1: Mathematische Grundkenntnisse und Einheiten

      Hinweis: Es wird bei diesem Lehrgang eine Schulbildung ab Klasse 8 vorausgesetzt. Kinder mit noch geringerer Schulbildung (12 Jahre oder jünger) müssen im Bereich Technik einiges auswendig lernen. Sie können die Abschnitte mit den Zehnerpotenzen und das Formelumstellen überspringen und diese Kapitel als "Mut zur Lücke" auslassen Gleiches gilt auch für Leute, die eher aus dem kaufmännischen Bereich kommen und bei denen "Schule" schon sehr viele Jahre zurück liegt. Aber arbeiten Sie den ersten Abschnitt mit Größen und Einheiten wenigstens durch.

      Inhaltsübersicht


      Größen und Einheiten

      Die Einheiten sind gesetzlich festgelegt. 1969 wurde in der Bundesrepublik Deutschland das Gesetz über Einheiten im Messwesen verabschiedet. Damit wurden die folgenden SI-Einheiten (System International) zu gesetzlichen Einheiten. In dem System sind sieben Basisgrößen (Länge, Masse, Zeit, Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge, Lichtstärke) und die zugehörigen Basiseinheiten festgelegt.


      Basis-
      größen
      Formel-
      zeichen
      EinheitenZeichen
      LängelMeterm
      MassemKilogrammkg
      ZeittSekundes
      StromstärkeIAmpereA
      TemperaturKelvinK
      StoffmengeMolmol
      LichtstärkeCandelacd

      Man nennt dieses System in der Reihenfolge der Einheiten auch MKSA-KMC-System oder kurz MKSA-System, weil die vier ersten Einheiten die wichtigsten sind. Alle anderen Einheiten können hieraus abgeleitet werden.

      Aus diesen Basiseinheiten ergeben sich alle abgeleiteten gesetzlichen Einheiten, wie zum Beispiel Fläche, Dichte, Frequenz, Energie, Leistung, Spannung, Widerstand und so weiter.

      Abgeleitete Einheiten

      GrößeFormel­-
      zeichen
      MaßeinheitAbk. der Einheit
      LadungQCoulombC = As
      SpannungUVoltV
      LeistungPWattW = VA
      El. FeldstärkeEVolt pro MeterV/m
      Magn. FeldstärkeHAmpere pro MeterA/m
      FrequenzfHertzHz = 1/s
      WiderstandROhmΩ = V/A
      LeitwertGSiemensS = 1/Ω
      KapazitätCFaradF = As/V
      InduktivitätLHenryH = Vs/A

      Bereits in dieser Tabelle einiger Einheiten kann man erkennen, dass es die gleichen Buchstaben als Formelbuchstabe und als Abkürzung der Einheit gibt. Beispielsweise bedeutet A als Größe: Fläche und als Einheit: Ampere. W als Größe bedeutet Arbeit (work) oder Energie und als Einheit Watt, also die Einheit der Leistung P (power).

      Testen Sie sich, indem Sie links auf die Fragezeichen klicken, aber nur einmal in jeder Tabelle!

      Prüfungsfrage
      TA205  Welche der nachfolgenden Antworten enthält nur Basiseinheiten nach dem internationalen Einheitensystem?
      Sekunde, Meter, Volt, Watt
      Ampere, Kelvin, Meter, Sekunde
      Farad, Henry, Ohm, Sekunde
      Grad, Hertz, Ohm, Sekunde

      Sie haben die Frage gut beantwortet, wenn Sie in der linken Spalte nur einmal das Wort "Richtig" sehen und keinmal "Falsch".

      Prüfungsfrage
      TA203  Welche Einheit wird für die elektrische Leistung verwendet?
      Joule(J)
      Kilowattstunden (kWh)
      Watt (W)
      Amperestunden (Ah)
      Prüfungsfrage
      TA201  Welche Einheit wird für die elektrische Spannung verwendet?
      Amperestunden (Ah)
      Ampere (A)
      Ohm (Ω)
      Volt (V)
      Prüfungsfrage
      TA208  Welche Einheit wird für die Kapazität verwendet?
      Farad (F)
      Ohm (Ω)
      Siemens (S)
      Henry (H)
      Prüfungsfrage
      TA202  Welche Einheit wird für die elektrische Ladung verwendet?
      Kilowatt (kW)
      Amperesekunde (As)
      Joule (J)
      Ampere (A)

      Zehnerpotenzen

      Das Messergebnis kann ein Vielfaches oder ein Teil einer Einheit sein. Es werden meist dezimale Vielfache oder Teile von Einheiten benutzt, zum Beispiel kilo für tausendfach oder milli für ein Tausendstel.


      FaktorPotenzVorsatzZeichen
      billionenfach1012TeraT
      milliardenfach 10 9GigaG
      millionenfach 106MegaM
      tausendfach 103kilok
      hundertfach 102hektoh
      zehnfach101dekada
      zehntel10-1dezid
      hundertstel 10-2zentic
      tausendstel 10-3millim
      millionstel 10-6mikroµ
      milliardstel10-9nanon
      billionstel10-12pikop

      Achten Sie darauf, dass die Abkürzungen für Tera, Giga und Mega mit großen Buchstaben und alle anderen mit kleinen Buchstaben geschrieben werden. Besonders wichtig ist es bei m oder M (milli oder Mega) und bei k für kilo, denn das große K wird in der Digitaltechnik auch für Kilo verwendet, wobei dort K = 1024 ist.

      1 Kilobyte (1 KB) sind 1024 Byte.

      1 · 10-6 ist gleichbedeutend mit

      \[ \frac{1}{10^{+6}} = \frac{1}{1000000} = \mathbf{0{,}000001} \]

      Ich mache die Umwandlung so: Ich zähle bei Zahlen kleiner als 1 vom Komma nach rechts bis zur letzten Stelle der Zahl. Steht die letzte Zahl beispielsweise an zweiter Stelle (0,42), beginne ich mit 10-2, steht sie an dritter Stelle (0,042) mit 10-3und so weiter und setze dann die Stellen links davon als Zahl davor, hier also 42. Dann sind beispielsweise

      0,42         = 42· 10-2    oder
      0,042       = 42· 10-3    oder
      0,00042    = 42· 10-5

      Prüfungsfrage
      TA101  0,042 A entspricht
      42· 10-1A.
      42· 103A.
      42· 10-2A.
      42· 10-3A.

      Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

      Für die Umwandlung in kilo, milli, mikro und so weiter ist es zweckmäßig, wenn die Hochzahlen die Werte 3 (kilo), 6 (Mega), 9 (Giga) oder -3 (milli), -6 (mikro), -9 (nano) oder -12 (piko) haben.
      Wenn die letzte Stelle nicht bei einem dieser Werte endet, kann man einfach eine Null anhängen. Für 0,00042 kann man auch 0,000420 schreiben, ohne dass sich der Wert ändert. Nun zähle ich bis zur Null sechs Stellen, also 10-6 und setze dann 420 davor, also 420· 10-6.

      Prüfungsfrage
      TA102  0,00042 A entspricht
      420· 10-6A.
      420· 106A.
      420· 10-5A.
      42· 10-6A.

      Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

      Bei Zahlen größer als eins versetze ich gedanklich das Komma so weit nach links, bis eine einstellige Zahl dabei heraus kommt. Die Anzahl der Stellen, um die ich das Komma nach links geschoben habe, entspricht der Hochzahl der Zehnerpotenz.

      Beispiele
      420    =  420,0 = 4,200· 102= 4,2· 102
      4200   =  4,2· 103
      42000 =  4,2· 104

      In der Elektrotechnik verwendet man normalerweise Zehnerpotenzen mit 3, 6, 9, 12 (wegen kilo, mega, giga, tera) oder -3, -6, -9, -12 (wegen milli, mikro, nano, piko).

      Prüfungsfrage
      TA104  4 200 000 Hz entspricht
      42· 10-5 Hz.
      4,2· 105Hz.
      42· 106Hz.
      4,2· 106Hz.

      Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

      Umgekehrt geht man vor, wenn man einen Zahlenwert mit einer Zehnerpotenz hat und es soll eine normale Dezimalzahl daraus gemacht werden. Ich mache es so: Wenn die Zehnerpotenz positiv ist, schreibe ich die Zahl vor der Zehnerpotenz hin und verschiebe das Komma so weit nach rechts, wie die Hochzahl lautet.

      Beispiele
      5,1· 102= 510
      51· 105= 5100000

      Im Buch finden Sie noch einige Übungsaufgaben dazu auf Seite 14.

      Prüfungsfrage
      TA206  0,22 µF sind
      220 nF
      22 nF
      220 pF
      22 pF

      Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

      Schreiben Sie für µ die Zehnerpotenz 10-6, versetzen das Komma um sechs Stellen nach links, also hier
      0,22 µF = 0,000000220 F
      füllen dann nach rechts mit Nullen auf und versetzen das Komma für „nano“ beispielsweise um 9 Stellen nach rechts. Sie erhalten 220 nF.
      Tipp: Von µF nach nF geht es auch einfacher, nämlich direkt drei Stellen nach rechts.

      Prüfungsfrage
      TA207  3,75 MHz sind
      375 kHz
      3750 kHz
      0,0375 GHz
      0,375 GHz

      Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

      1 MHz sind 1000 kHz

      Prüfungsfrage
      TA103  100 mW entspricht
      0,01 W.
      0,001 W.
      10-1W.
      10-2W.

      Lösungsweg (hier klicken zum Anzeigen):

      10-1ist gleichbedeutend mit 0,1.

      Formeln umstellen

      Im Fragenkatalog gibt es unter Punkt "1.1.1 Allgemeine mathematische Kenntnisse" einen Hinweis, dass der erforderliche Prüfungsstoff in den folgenden Abschnitten enthalten ist. Weil das Umstellen von Formeln praktisch Grundvoraussetzung für die Lösung aller Aufgaben ist, soll es in einem kleinen Vorspann geübt werden. Die mit üB gekennzeichneten Aufgaben gibt es im Fragenkatalog nicht. Sie dienen als Vorübung. Recht häufig kommt die einfache Formelumstellung vor, bei der das Ohmsche Gesetz 

         U = R · I

      oder die einfache Leistungsformel

         P= U · I

      nach einer der drei Größen umgestellt werden muss. Mathematisch funktioniert es so, dass man einfach auf beiden Seiten durch diejenige Größe teilt, die man "weg haben" möchte.

      Beispiel
      P = U · I    soll nach I umgestellt werden.
      Lösung: Man dividiert durch U und I bleibt auf einer Seite übrig.

      Wer sich damit etwas schwer tut, kann folgendes Hilfsmittel benutzen. Man schreibt die Formel in folgender Weise in ein Dreieck

       
      Bild 1-1: URI- und PUI-Dreieck

      Die Anwendung dieses Dreiecks funktioniert folgendermaßen. Wenn man beispielsweise beim Ohmschen Gesetz nach dem Strom umstellen will, hält man den Buchstaben I zu und schaut, was übrig bleibt. Der waagerechte Strich ersetzt den Bruchstrich. Also in diesem Fall ist zum Beispiel

      \[ I = \frac{U}{R} \]

      Dies soll erstmal genug sein mit der Mathematik.

      Übungsaufgaben

      Wandeln Sie folgende Zahlenwerte einiger Messgrößen unter Verwendung der Kurzzeichen für Teile oder Vielfache von Einheiten um. Ein Klick auf die Schaltfläche zeigt das korrekte Ergebnis.

      Übungsaufgaben
      U = 1 280 VoltU = 1,28 kV
      I = 0,038 AmpereI =
      f = 3 580 Kilohertzf =
      P = P = 450 mW
      R = 27 000 OhmR =
      U = 0,00001 VoltU =
      I = 0,00025 AmpereI =
      R = 0,047 MegohmR =
      t = 0,00005 Sekundent =


      Viel Erfolg beim Lehrgang wünscht Ihnen Eckart Moltrecht DJ4UF!


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      Letzte Bearbeitungen: 01.09.2017 DJ4UF, 04.04.2020 DH8GHH
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