Kapitel 1: Mathematische Grundkenntnisse und Einheiten

Hinweis: Es wird bei diesem Lehrgang eine Schulbildung ab Klasse 8 vorausgesetzt. Kinder mit noch geringerer Schulbildung (12 Jahre oder jünger) müssen im Bereich Technik einiges auswendig lernen. Sie können die Abschnitte mit den Zehnerpotenzen und das Formelumstellen überspringen und diese Kapitel als "Mut zur Lücke" auslassen Gleiches gilt auch für Leute, die eher aus dem kaufmännischen Bereich kommen und bei denen "Schule" schon sehr viele Jahre zurück liegt. Aber arbeiten Sie den ersten Abschnitt mit Größen und Einheiten wenigstens durch.


Übersicht zu diesem Kapitel



Größen und Einheiten

Die Einheiten sind gesetzlich festgelegt. 1969 wurde in der Bundesrepublik Deutschland das Gesetz über Einheiten im Messwesen verabschiedet. Damit wurden die folgenden SI-Einheiten (System International) zu gesetzlichen Einheiten. In dem System sind sieben Basisgrößen (Länge, Masse, Zeit, Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge, Lichtstärke) und die zugehörigen Basiseinheiten festgelegt.


Basis-
größen
Formel-
zeichen
Einheiten Zei-
chen
Länge l Meter m
Masse m Kilogramm kg
Zeit t Sekunde s
Stromstärke I Ampere A
Temperatur Kelvin K
Stoffmenge Mol mol
Lichtstärke Candela cd

Man nennt dieses System in der Reihenfolge der Einheiten auch MKSA-KMC-System oder kurz MKSA-System, weil die vier ersten Einheiten die wichtigsten sind. Alle anderen Einheiten können hieraus abgeleitet werden.

Aus diesen Basiseinheiten ergeben sich alle abgeleiteten gesetzlichen Einheiten, wie zum Beispiel Fläche, Dichte, Frequenz, Energie, Leistung, Spannung, Widerstand und so weiter.


Abgeleitete Einheiten

Größe Formel­-
zeichen
Maßeinheit Abk. der Einheit
Ladung Q Coulomb C = As
Spannung U Volt V
Leistung P Watt W = VA
El. Feldstärke E Volt pro Meter V/m
Magn. Feldstärke H Ampere pro Meter A/m
Frequenz f Hertz Hz = 1/s
Widerstand R Ohm Ω = V/A
Leitwert G Siemens S = 1/Ω
Kapazität C Farad F = As/V
Induktivität L Henry H = Vs/A

Bereits in dieser Tabelle einiger Einheiten kann man erkennen, dass es die gleichen Buchstaben als Formelbuchstabe und als Abkürzung der Einheit gibt. Beispielsweise bedeutet A als Größe: Fläche und als Einheit: Ampere. W als Größe bedeutet Arbeit (work) oder Energie und als Einheit Watt, also die Einheit der Leistung P (power).

Testen Sie sich, indem Sie links auf die Fragezeichen klicken, aber nur einmal in jeder Tabelle!


Prüfungsfrage
TA205  Welche der nachfolgenden Antworten enthält nur Basiseinheiten
nach dem internationalen Einheitensystem?
Sekunde, Meter, Volt, Watt
Ampere, Kelvin, Meter, Sekunde
Farad, Henry, Ohm, Sekunde
Grad, Hertz, Ohm, Sekunde

Sie haben die Frage gut beantwortet, wenn Sie in der linken Spalte nur einmal das Wort "Richtig" sehen und keinmal "Falsch".


Prüfungsfrage
TA203  Welche Einheit wird für die elektrische Leistung verwendet?
Joule(J)
Kilowattstunden (kWh)
Watt (W)
Amperestunden (Ah)

Prüfungsfrage
TA201  Welche Einheit wird für die elektrische Spannung verwendet?
Amperestunden (Ah)
Ampere (A)
Ohm (Ω)
Volt (V)

Prüfungsfrage
TA208  Welche Einheit wird für die Kapazität verwendet?
Farad (F)
Ohm (Ω)
Siemens (S)
Henry (H)

Prüfungsfrage
TA202  Welche Einheit wird für die elektrische Ladung verwendet?
Kilowatt (kW)
Amperesekunde (As)
Joule (J)
Ampere (A)

Zehnerpotenzen

Das Messergebnis kann ein Vielfaches oder ein Teil einer Einheit sein. Es werden meist dezimale Vielfache oder Teile von Einheiten benutzt, zum Beispiel kilo für tausendfach oder milli für ein Tausendstel.


Faktor Potenz Vorsatz Zeichen
billionenfach 1012 Tera T
milliardenfach 10 9 Giga G
millionenfach 106 Mega M
tausendfach 103 kilo k
hundertfach 102 hekto h
zehnfach 101 deka da
zehntel 10-1 dezi d
hundertstel 10-2 zenti c
tausendstel 10-3 milli m
millionstel 10-6 mikro µ
milliardstel 10-9 nano n
billionstel 10-12 piko p

Achten Sie darauf, dass die Abkürzungen für Tera, Giga und Mega mit großen Buchstaben und alle anderen mit kleinen Buchstaben geschrieben werden. Besonders wichtig ist es bei m oder M (milli oder Mega) und bei k für kilo, denn das große K wird in der Digitaltechnik auch für Kilo verwendet, wobei dort K = 1024 ist.

1 Kilobyte (1 KB) sind 1024 Byte.

1 · 10-6ist gleichbedeutend mit

Ich mache die Umwandlung so: Ich zähle bei Zahlen kleiner als 1 vom Komme nach rechts bis zur letzten Stelle der Zahl. Steht die letzte Zahl beispielsweise an zweiter Stelle (0,42), beginne ich mit 10-2, steht sie an dritter Stelle (0,042) mit 10-3und so weiter und setze dann die Stellen links davon als Zahl davor, hier also 42. Dann sind beispielsweise

0,42         = 42·10-2    oder
0,042       = 42·10-3    oder
0,00042    = 42·10-5


Prüfungsfrage
TA101  0,042 A entspricht
42·10-1A.
42·103A.
42·10-2A.
42·10-3A.

Für die Umwandlung in kilo, milli, mikro und so weiter ist es zweckmäßig, wenn die Hochzahlen die Werte 3 (kilo), 6 (Mega), 9 (Giga) oder -3 (milli), -6 (mikro), -9 (nano) oder -12 (piko) haben.

Wenn die letzte Stelle nicht bei einem dieser Werte endet, kann man einfach eine Null anhängen. Für 0,00042 kann man auch 0,000420 schreiben, ohne dass sich der Wert ändert. Nun zähle ich bis zur Null sechs Stellen, also 10-6 und setze dann 420 davor, also 420·10-6.


Prüfungsfrage
TA102  0,00042 A entspricht
420·10-6A.
420·106A.
420·10-5A.
42·10-6A.

Bei Zahlen größer als eins versetze ich gedanklich das Komma so weit nach links, bis eine einstellige Zahl dabei heraus kommt. Die Anzahl der Stellen, um die ich das Komma nach links geschoben habe, entspricht der Hochzahl der Zehnerpotenz.


Beispiele
420    =  420,0 = 4,200·102= 4,2·102
4200   =  4,2·103
42000 =  4,2·104

In der Elektrotechnik verwendet man normalerweise Zehnerpotenzen mit 3, 6, 9, 12 (wegen kilo, mega, giga, tera) oder -3, -6, -9, -12 (wegen milli, mikro, nano, piko).


Prüfungsfrage
TA104  4 200 000 Hz entspricht
42·10-5 Hz.
4,2·105Hz.
42·106Hz.
4,2·106Hz.

Umgekehrt geht man vor, wenn man einen Zahlenwert mit einer Zehnerpotenz hat und es soll eine normale Dezimalzahl daraus gemacht werden. Ich mache es so: Wenn die Zehnerpotenz positiv ist, schreibe ich die Zahl vor der Zehnerpotenz hin und verschiebe das Komma so weit nach rechts, wie die Hochzahl lautet.

Beispiele
5,1·102= 510
51·105= 5100000

Im Buch finden Sie noch einige Übungsaufgaben dazu auf Seite 14.


Prüfungsfrage
TA206  0,22 µF sind
220 nF
22 nF
220 pF
22 pF

Lösungsweg mit Zehnerpotenzen: Schreiben Sie für µ die Zehnerpotenz 10-6, versetzen das Komma um sechs Stellen nach links, also hier
0,22 µF = 0,000000220 F
füllen dann nach rechts mit Nullen auf und versetzen das Komma für „nano“ beispielsweise um 9 Stellen nach rechts. Sie erhalten 220 nF.
Tipp: Von µF nach nF geht es auch einfacher, nämlich direkt drei Stellen nach rechts.


Prüfungsfrage
TA207  3,75 MHz sind
375 kHz
3750 kHz
0,0375 GHz
0,375 GHz

Tipp: 1 MHz sind 1000 kHz


Prüfungsfrage
TA103  100 mW entspricht
0,01 W.
0,001 W.
10-1W.
10-2W.

Tipp: 10-1ist gleichbedeutend mit 0,1.


Formeln umstellen

Im Fragenkatalog gibt es unter Punkt "1.1.1 Allgemeine mathematische Kenntnisse" einen Hinweis, dass der erforderliche Prüfungsstoff in den folgenden Abschnitten enthalten ist. Weil das Umstellen von Formeln praktisch Grundvoraussetzung für die Lösung aller Aufgaben ist, soll es in einem kleinen Vorspann geübt werden. Die mit ÜB gekennzeichneten Aufgaben gibt es im Fragenkatalog nicht. Sie dienen als Vorübung. Recht häufig kommt die einfache Formelumstellung vor, bei der das Ohmsche Gesetz 

   U = R·I

oder die einfache Leistungsformel

   P= U·I

nach einer der drei Größen umgestellt werden muss. Mathematisch funktioniert es so, dass man einfach auf beiden Seiten durch diejenige Größe teilt, die man "weg haben" möchte.

Beispiel
P = U·I    soll nach Iumgestellt werden.
Lösung: Man dividiert durch Uund Ibleibt auf einer Seite übrig.

Wer sich damit etwas schwer tut, kann folgendes Hilfsmittel benutzen. Man schreibt die Formel in folgender Weise in ein Dreieck


Bild 1-1: URI- und PUI-Dreieck


Die Anwendung dieses Dreiecks funktioniert folgendermaßen. Wenn man beispielsweise beim Ohmschen Gesetz nach dem Strom umstellen will, hält man den Buchstaben I zu und schaut, was übrig bleibt. Der waagerechte Strich ersetzt den Bruchstrich. Also in diesem Fall ist zum Beispiel

Dies soll erstmal genug sein mit der Mathematik.


Übungsaufgaben

Wandeln Sie folgende Zahlenwerte einiger Messgrößen unter Verwendung der Kurzzeichen für Teile oder Vielfache von Einheiten um und tragen Sie die Lösungen in die Tabelle ein.


Übungsaufgaben
U = 1 280 Volt U = 1,28 kV
I = 0,038 Ampere I =_____ mA
f = 3 580 Kilohertz f =____ MHz
P = ______ Watt P = 450 mW
R = 27 000 Ohm R =____ kΩ
U = 0,00001 Volt U = ____ µV
I = 0,00025 Ampere I =_____ mA
R = 0,047 Megohm R = ___ kΩ
t = 0,00005 Sekunden t = _____ µs


Lösung der Übungsaufgaben
U = 1280 Volt U = 1,28 kV
I = 0,038 Ampere I = 38mA
f = 3580 Kilohertz f = 3,58MHz
P = 0,45Watt P = 450 mW
R = 27000 Ohm R = 27
U = 0,00001 Volt U = 10µV
I = 0,00025 Ampere I = 0,25mA
R = 0,047 Megohm R = 47,0
t = 0,00005 Sekunden t = 50µs

Viel Erfolg beim Lehrgang wünscht Ihnen Eckart Moltrecht DJ4UF!


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Eckart K. W. Moltrecht Dieser DARC-Online-Lehrgang wurde mit freundlicher Genehmigung des Autors Eckart K. W. Moltrecht aus seinen Büchern "Amateurfunk-Lehrgang für das Amateurfunkzeugnis" aus dem VTH-Verlag für das Internet umgewandelt. Das Copyright liegt beim Autor und beim Verlag.
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Letzte Bearbeitungen:
06.11.2016 DK2DQ, 01.09.2017 DJ4UF
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