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Ohmsches Gesetz

Zeichnung: DJ4UF

Bild 3-1: Nachweis der Abhängigkeit des Stromes von der Spannung

Ein einfacher Versuch nach Schaltung Bild 3-1 zeigt, dass es zwischen Spannung und Strom einen Zusammenhang gibt. Erhöht man beim Betrieb einer Glühlampe die Spannung, so leuchtet sie heller. Dies ist ein Zeichen, dass höherer Strom fließt.

Die Schaltung zeigt zwei in Reihe geschaltete Zellen von je 1,5 Volt. Mit dem Umschalter kann man auf die erste Zelle schalten und bekommt 1,5 Volt. Oder man schaltet auf die Reihenschaltung (Schalter oben) und die Betriebsspannung beträgt 3 Volt. Das Symbol mit dem Kreuz stellt eine Glühlampe als Verbraucher dar.

Dass nicht ein unendlich großer Strom fließt, liegt daran, dass der Leiterwerkstoff des Glühfadens in der Glühlampe dem Stromfluss einen Widerstand entgegensetzt. Dieser Widerstand wird sowohl von der vorhandenen Zahl der frei beweglichen Leitungselektronen als auch vom Atomgitteraufbau des Werkstoffes bestimmt.

Der Widerstand der Glühlampe oder jeder andere Widerstand kann allgemein durch folgendes Symbol dargestellt werden.


Symbol und Kennzeichen für den Widerstand

Die Größe eines Widerstandes wird mit dem Buchstaben R (resistor) gekennzeichnet, seine Einheit ist Ohm, abgekürzt Ω.


Definition: Ein Widerstand hat den Wert R = 1 Ω (sprich: ein Ohm), wenn bei Anlegen einer Spannung von 1 Volt ein Strom von 1 Ampere fließt.

Mit einer verstellbaren Spannungsquelle, wie sie in Bild 3-2 dargestellt ist, soll der Zusammenhang zwischen Strom, Spannung und Widerstand genauer untersucht werden. Denken Sie sich vier Zellen von je 1,5 Volt in Serie geschaltet mit je einen Abgriff bei 1,5 V, 3 V, 4,5 V und 6 V. Es kann über einen Strommesser ein Lastwiderstand R angeschlossen werden.

Zeichnung: Eckart Moltrecht, DJ4UF
Bild 3-2: Messanordnung zur Messung des Zusammenhangs zwischen Spannung und Strom bei einem konstanten Widerstand

Versuch 1
Bei einem festen Widerstand von R1 = 220 Ω wird die Spannung verändert und der Strom gemessen.

Bei U = 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V
beträgt I = 6,8 mA 13,6 mA 20,5 mA 27,3 mA

 Diese Messwerte sind im Diagramm Bild 3-3 bereits eingetragen. Nachgetragen ist noch der Messwert 0, denn ohne Spannung (U=0) fließt natürlich kein Strom (I=0).

Versuch 2
Bei einem festen Widerstand von R1 = 100 Ω soll die Spannung verändert und der Strom gemessen werden.

Wenn Sie keine Messmöglichkeit haben, verwenden Sie die in folgender Tabelle eingetragenen Werte.

Bei U = 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V
beträgt I = 15 mA 30 mA 45 mA 60 mA

Tragen Sie diese Messwerte zusätzlich in das Diagramm Bild 3-3 ein! Es muss sich eine Gerade ergeben. Verlängern Sie die Gerade! Sie muss durch den Nullpunkt gehen, denn natürlich fließt kein Strom (I = 0 A), wenn keine Spannung (U = 0 A) anliegt.

 

Zeichnung: DJ4UF
Bild 3-3: Kennlinien zum Ohmschen Gesetz

Aus dem Diagramm und aus der Tabelle kann man Folgendes erkennen: Bei Verdopplung der Spannung fließt genau der doppelte Strom, wenn man den Widerstand konstant lässt. Man sagt: Spannung und Strom sind proportional und schreibt

U ~ I       (sprich: U proportional I).

Versuch 3
Es soll ein konstanter Strom von 20 mA fließen. Der Widerstand wird verändert und die notwendige Spannung gemessen.

 

Bei R =   75 Ω 150 Ω 300 Ω
benötigt man U = 1,5 V 3 V 6 V

Bei Verdopplung des Widerstandes benötigt man eine doppelt so große Spannung, damit der gleiche Strom fließt. Spannung und Widerstand sind also proportional.

U ~ R

Beide Zusammenhänge lassen sich als Formel schreiben und ergeben das Ohmsche Gesetz.

U = R · I

Der Widerstand R ist gewissermaßen der Proportionalitätsfaktor zwischen U und I. Die Grundform des Ohmschen Gesetzes lässt sich leicht merken, wenn man an den Schweizer Kanton URI denkt.

Testen Sie sich, indem Sie links auf die Fragezeichen klicken, aber nur einmal in jeder Tabelle!

Prüfungsfrage

TB903 Welche Spannung lässt einen Strom von 2 Ampere durch einen Widerstand von 50 Ohm fließen?
   25 V
   200 V
   100 V
   52 V

Sie haben die Frage gut beantwortet, wenn Sie in der linken Spalte nur einmal das Wort "Richtig" sehen und keinmal "Falsch".

Und so wird es gerechnet:

Gegeben:         I = 2 A;        R = 50 Ω

Gesucht:          U

Lösung:           U = R ?  I = 50 Ω ? 2 A

                         U = 100 V

 

Durch Umstellen der Grundformel erhält man weitere Formen des Ohmschen Gesetzes.

    

Das Umstellen dieser Formel wurde in der Lektion 1 geübt. Kennen Sie das "URI-Dreieck"? Schauen Sie gegebenenfalls dort nach.

                Das URI-Dreieck

 

Aus der letzten Formel ergibt sich die Einheitengleichung für Ohm.

Prüfungsfrage

TB902 Welcher der nachfolgenden Zusammenhänge ist richtig?
   U = R ⋅ I
   I = U ⋅ R
    R = I / U
    I = R / U

 

Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes sind die beiden Grundgrößen Strom und Spannung über den Widerstand miteinander verknüpft. Dieser Zusammenhang gilt für Gleichspannung und mit Einschränkungen auch für Wechselspannungen (Kapitel 2). Um eine Größe ausrechnen zu können, müssen die zwei anderen bekannt sein.

Prüfungsfrage

TB904 Welcher Widerstand ist erforderlich, um einen Strom von 3 Ampere bei einer Spannung von 90 Volt fließen zu lassen?
   93 Ω
   1/30 Ω
   270 Ω
   30 Ω

Und so kommt man an die Lösung:

Gegeben:         I = 3 A;        U = 90 V

Gesucht:          R

Lösung:          

 

Zeichnung: Moltrecht
Bild 3-4: Praxis 1 zum Ohmschen Gesetz

Versuch C
Mit einem vierpoligen Taster nach Bild 3?4 werden nacheinander vier verschiedene Widerstände eingeschaltet. Welche Ströme werden jeweils gemessen?

Lösung: Tragen Sie die gemessenen Werte in folgende Tabelle ein. Wenn Sie keine Messmöglichkeit haben, können Sie natürlich auch rechnen.

Bei R =   100 Ω 220 Ω 470 Ω 1 kΩ
misst man I = ___ mA ___ mA ___ mA ___ mA

Prüfen Sie Ihre Ergebnisse folgendermaßen nach: Die Widerstände wurden jeweils etwa verdoppelt, dann muss der Strom jeweils ungefähr halb so groß werden.

 

Der Innenwiderstand

Wenn man einen Generator G, (Bild 3-5) zum Beispiel ein Netzteil, mit einem Verbraucher belastet, so dass viel Laststrom I fließt, geht die Spannung U an den Klemmen etwas zurück. Man sagt, ein Generator hat einen Innenwiderstand Ri, an dem eine Spannung abfällt. 

Zeichnung: Eckart Moltrecht
Bild 3-5: Begriffe Leerlaufspannung U0, Innenwiderstand Ri, Klemmenspannung U, Laststrom I

Man berechnet den Innenwiderstand einer Spannungsquelle aus dem Spannungsunterschied Delta U (ΔU) an den Klemmen geteilt durch den  Stromunterschied Delta I (ΔI) bei Belastung. Als Formel ausgedrückt schreibt man dafür

 

Diese Formel finden Sie in der BNetzA Formelsammlung (siehe auch Anhang 3 im Begleitbuch). Sie merken sich also einfach: Wie Ohmsches Gesetz, nur auf die Unterschiede (Delta) bei Belastung kommt es an.

 

Prüfungsfrage

TD302 Die Leerlaufspannung einer Gleichspannungsquelle beträgt 13,5 V. Wenn die Spannungsquelle einen Strom von 1 A abgibt, sinkt die Klemmenspannung auf 12,4 V. Wie groß ist der Innenwiderstand der Spannungsquelle?
    1,1 Ω
    1,2 Ω
    12,4 Ω
    13,5 Ω

Und so kommt man an die Lösung:

 

 

Prüfungsfrage

TD303 Die Leerlaufspannung einer Gleichspannungsquelle beträgt 13,5 V. Wenn die Spannungsquelle einen Strom von 2 A abgibt, sinkt die Klemmenspannung auf 13 V. Wie groß ist der Innenwiderstand der Spannungsquelle?
    0,25 Ω
    6,5 Ω
    6,75 Ω
    13 Ω

Und so kommt man an die Lösung:
Das können Sie doch allein, oder?

Übrigens: Eine „Spannungsquelle“ sollte einen niedrigen Innenwiderstand haben. Es gibt auch „Stromquellen“, die einen konstanten Strom liefern sollen. Diese müssen im Gegensatz zur Spannungsquelle einen großen Innenwiderstand haben. Mehr dazu im Lehrgang zur Klasse A.

Prüfungsfrage

TD301 Welche Eigenschaften sollten Strom- und Spannungsquellen aufweisen?
  Strom- und Spannungsquellen sollten einen möglichst niedrigen Innenwiderstand haben.
  Strom- und Spannungsquellen sollten einen möglichst hohen Innenwiderstand haben.
  Spannungsquellen sollten einen möglichst hohen Innenwiderstand und Stromquellen einen möglichst niedrigen Innenwiderstand haben.
  Spannungsquellen sollten einen möglichst niedrigen Innenwiderstand und Stromquellen einen möglichst hohen Innenwiderstand haben.



Die elektrische Leistung

Fließt durch einen Widerstand Strom, so wird in ihm eine Wärmeleistung erzeugt. Anwendungen sind Kochplatte, Bügeleisen, Heizspirale eines Elektroöfchens. Ein Widerstand in einer elektronischen Schaltung soll aber nicht heiß werden.

Die Leistung ist umso größer, je größer Strom und Spannung sind. Die elektrische Leistung P (englisch: power) ist das Produkt aus Spannung U und Strom I.

P = U · I

Die Maßeinheit für die elektrische Leistung ergibt sich aus dem Produkt Volt mal Ampere (V ? A oder VA). Für die Leistung bei Gleichstrom wurde anstelle dieses Produktes die abgeleitete Einheit Watt (W) festgelegt.

1 W = 1 V ? 1 A 

Prüfungsfrage

TB901 Die Maßeinheit der elektrischen Leistung ist
  Joule.
  Kilowattstunden.
  Amperestunden.
  Watt.

Neben dieser Einheit gibt es auch wieder Vielfache oder Teile der Einheit.

1 Megawatt 1 MW 106 W 1 000 000 W
1 Kilowatt 1 kW 103W 1 000 W
1 Milliwatt 1 mW 10-3 W 1/1000 W
1 Mikrowatt 1 µW 10-6 W 1/1000000 W

Die Formel P = U ⋅ I gilt grundsätzlich bei Gleichstrom. Bei Wechselstrom gilt sie nur dann, wenn keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auftritt, wenn nur eine so genannte rein Ohmsche Belastung vorliegt. In den folgenden Aufgaben mit Wechselstrom oder Hochfrequenz wird angenommen, dass eine solche Ohmsche Belastung vorliegt. Näher soll hier im Rahmen des Amateurfunklehrgangs Klasse E nicht darauf eingegangen werden. In der theoretischen Elektrotechnik heißt dieses Kapitel Wechselstromtechnik und beinhaltet höhere Mathematik.

 

Prüfungsfrage

TB908  Ein mit einer künstlichen 50-Ω-Antenne in Serie geschaltetes HF-Amperemeter zeigt 2 A an. Welche Leistung gibt der Sender ab?
    100 W
    200 W
    25 W
    250 W

Und so kommt man an die Lösung:

Gegeben:     R = 50 Ω          I = 2 A

Gesucht:      P

Lösung:       P = U ? I

Zunächst:    U = R ? I = 50 Ω ? 2 A = 100 V

                   P = 100 V ? 2 A = 200 W

Sicher schaffen Sie die beiden folgenden Aufgaben allein.

TB907 Der Effektivwert der Spannung an einer künstlichen 50-Ω-Antenne wird mit 100 V gemessen. Die Leistung an der Last beträgt
    141 W
    100 W
    283 W
    200 W

 

Prüfungsfrage

TB911 Welche Belastbarkeit muss ein Vorwiderstand haben, an dem bei einem Strom von 50 mA eine Spannung von 50 V abfallen soll?
    25 W
    250 mW
    2,5 W
    1 W

 

Prüfungsfrage

TB910 Ein 100-Ω-Widerstand, an dem 10 V anliegen, muss mindestens eine Belastbarkeit haben von
    0,01 W.
    100 mW.
    1 W.
    10 W.

 

Prüfungsfrage

TB909 Ein Mobiltransceiver (Sender?Empfänger) hat bei Sendebetrieb eine Leistungsaufnahme von 100 Watt aus dem 12-V-Bordnetz des Kraftfahrzeuges. Wie groß ist die Stromaufnahme?
    1200 A
    16,6 A
    8,33 A
    0,12 A

Und so kommt man an die Lösung:

Gegeben:     P = 100 W       U = 12 V

Gesucht:      I

Lösung:       P = U ? I,    

umgestellt 

  

 

Prüfungsfrage

TB906 Eine Glühlampe hat einen Nennwert von 12 V und 48 W. Bei einer 12-V-Versorgung beträgt die Stromentnahme
    36 A.
    250 mA.
    750 mA.
    4 A.

Die Rechnung erfolgt wie bei der Aufgabe zuvor.

 

 

Die Elektrische Arbeit

Wie auch in der Mechanik ist die elektrische Arbeit W (englisch: work) umso größer, je länger eine Leistung verrichtet wird.

Arbeit = Leistung ? Zeit

W = P · t

Dieses Gesetz gilt auch in der Elektrotechnik. Setzt man für die Leistung noch Strom mal Spannung ein, kann man für die elektrische Arbeit auch schreiben

W = U · I ·t

Die Maßeinheit ergibt sich aus dieser Formel, indem man die Grundeinheiten Volt, Ampere und Sekunde einsetzt, also VAs oder Ws (Volt · Ampere = Watt), also Wattsekunden.

Merken Sie sich:

Die Einheit der Arbeit ist 1 Wattsekunde (1 Ws)

Für größere Arbeit ist diese Einheit etwas unpraktisch. Im Haushalt verwendet man besser Kilowattstunden.

Prüfungsfrage

Übungsaufgabe ÜB301 Wie viel Wattsekunden hat eine Kilowattstunde?
    3 600 Ws
    60 000 Ws
    3 600 000 Ws
    60 Ws

Und so kommen Sie an die Lösung:

Ersetzen Sie Stunde durch Sekunden! Rechnen Sie 60 Minuten mal 60 Sekunden. Und dann machen Sie aus 1 Kilowatt noch Watt (mal tausend!).

Daraus ergibt sich eine Kostenberechnung für elektrische Arbeit. Denn für elektrische Arbeit aus dem Stromnetz muss man bezahlen, nicht für die Leistung. Es hängt davon ab, wie lange eine Leistung verrichtet wird.

Übungsaufgabe ÜB302
Ein Computer nimmt 120 Watt Leistung auf.
a) Wie groß ist der "Stromverbrauch" (elektrische Arbeit oder Energie* in Kilowattstunden), wenn dieser den ganzen Tag von 8 bis 18 Uhr eingeschaltet bleibt?
b) Wie hoch sind die "Stromkosten" (Kosten für die erbrachte elektrische Arbeit), wenn für eine Kilowattstunde 25 Cent bezahlt werden muss?

Lösung

a) W = P ? t = 120 W ? 10 h = 1200 Wh = 1,2 kWh

b) Kosten K = 1,2 kWh ? 25 Cent/kWh = 30 Cent

Es müssen 30 Cent dafür bezahlt werden. Betreibt man den Computer täglich zehn Stunden, kommen 30 mal 30 Cent gleich 9,00 Euro an Stromkosten für einen Monat zusammen.

 

Prüfungsfrage

TB905  Eine Stromversorgung nimmt bei 230 Volt einen Strom von 0,63 Ampere auf. Welche elektrische Arbeit wird bei einer Betriebsdauer von 7 Stunden verbraucht?
    1,01 kWh
    0,1 kWh
    2,56 kWh
    20,7 kWh

Und so kommt man an die Lösung:

W = P ? t = U ? I ? t

W = 230 V ? 0,63 A ? 7 h = 1014 Wh

W = 1,01 kWh

 

*Energie

Gespeicherte Arbeit wird in der Elektrotechnik auch elektrische Energie genannt. Ein Akku kann beispielsweise 60 Wattstunden an Energie abgeben. Oder die Energiekosten für den Computer in obigem Beispiel betragen 9,00 Euro im Monat.


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Copyright Eckart K. W. Moltrecht Copyright-Hinweis: Dieser DARC-Online-Lehrgang wurde mit freundlicher Genehmigung des Autors Eckart K. W. Moltrecht aus der Korrekturversion seines Buches "Amateurfunk-Lehrgang für das Amateurfunkzeugnis Klasse E TECHNIK" aus dem VTH-Verlag für das Internet umgewandelt. Das Copyright liegt beim Autor und beim Verlag. Die Darstellung auch nur von Auszügen oder Zeichnungen oder Fotos im Internet ist untersagt. Für die private Verwendung können Sie gern eine Genehmigung beim Autor erhalten. Schreiben Sie ein E-Mail an dj4uf(at)darc.de!


Letzte Bearbeitung: 21.8.2016 DK2DQ, 17.01.2015 DJ4UF
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